← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.425286_703596_835882.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((256767069830899570374346007372a^{2} - 308943092743329530771001879094a - 177987517522113529846445315792)\mu_3 + (293134597362896658371337784508a^{2} + 209735127530002041452457254880a - 94588047689218912927564786164))b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (2a - 1)\mu_3 + 4a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 1))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2))c + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + 4\mu_3)c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (323904916216168633756514864688a^{2} - 133864659300902574172976954096a - 58469561039544724505388705200 )x^{47} + (-177032213826855198697692424616a^{2} + 487979395392661761700463514176a + 184284617083226904351984809720 )x^{46} + (43478626501970678098072296384a^{2} - 349507711848844299282406733304a - 170284472873267590388524877040 )x^{45} + (502957583047108025599805427568a^{2} + 330540825887137144372182661916a + 623185465956814445430522606660 )x^{44} + (215363435037470273969643350720a^{2} + 202896765433205284516042013584a - 573996728562970103129723381216 )x^{43} + (-624598308343828355883465981744a^{2} + 9280133111113373324056885672a + 139972040916291990379888958836 )x^{42} + (-97906091266150507860697620104a^{2} + 319882195696976789068473828176a + 134896437517293098879917380744 )x^{41} + (588212016707673980228407978516a^{2} - 175229917094124932972510374740a + 343385232311562212700404852964 )x^{40} + (25684970211827067953414205952a^{2} - 475286895726495562368822184528a - 373749470144091516768623814656 )x^{39} + (349337702974338731477057813592a^{2} - 304753242841093693329146351360a + 57763974376727307566858052944 )x^{38} + (-403633706385721968933088719160a^{2} - 35096457001272250342381165432a + 599980383549809572996621882000 )x^{37} + (297956154805465761184010387832a^{2} + 153580991054145338835718277672a + 222463537801467271708980081472 )x^{36} + (397776367285806568834967817712a^{2} + 23196838043216717822859537008a + 109865630669129282983260409952 )x^{35} + (200644843655898446866890660864a^{2} + 138139495199208593130304952368a - 633609900660790601566811078880 )x^{34} + (-342492575709470714474256649936a^{2} - 186659158478941780324753792408a - 601779871528539198728342126720 )x^{33} + (276714269842306730614675783520a^{2} - 21267395904901506139775007320a - 456354231574376831072818843656 )x^{32} + (-601519126580328334762481034608a^{2} + 152224714051772978007293279248a + 567422231994194359104090292336 )x^{31} + (-456903999111906367483029623168a^{2} - 543472898259583260208213299136a + 144547661759314332380155047256 )x^{30} + (-525046702267438253358657336288a^{2} + 58147351874674792887816216912a + 323023160560289383115962943232 )x^{29} + (-256835109289141838511236027856a^{2} + 465761330213723127082658606600a - 291613962496253776894369427600 )x^{28} + (-592059354422859049234882819840a^{2} - 148989348529955564461902894080a - 430442938400653214002676861280 )x^{27} + (262008526467638872464353877920a^{2} + 614773318661221655455044310152a + 344376659512719424694515473840 )x^{26} + (473827051792422904473751079408a^{2} + 169940292143618085238558197488a - 488678597892446154619441818272 )x^{25} + (-574675385903690426543696474796a^{2} + 452866215926289154223396711004a - 160809471821844887526231722692 )x^{24} + (221651966175542042573809491904a^{2} - 543843603209883739286714154656a - 45711629697469982949007787648 )x^{23} + (-355797509437344664177283957264a^{2} - 32065854901737345128004102048a - 387133746844817262184221503216 )x^{22} + (597464341963929865396232363136a^{2} + 306998344201982379059638412400a + 554085928091522135618250571040 )x^{21} + (-113601444914902596809198633816a^{2} + 179475078422248330869200814976a + 75724086786145130359804913912 )x^{20} + (227581942428359730559501065344a^{2} - 302922941201499441120785533920a - 426280929561580365705596754528 )x^{19} + (-459668990108735915896966349296a^{2} - 98176402664521155380112019720a + 614463637112186502310586980840 )x^{18} + (-365384624006996185595020559472a^{2} + 283590643174557940915967212768a + 535482490445304794631365901344 )x^{17} + (-182834194087467159380863417344a^{2} + 413339931555157542708030424504a + 470088446791077271110256115216 )x^{16} + (378203408265123642358913738848a^{2} + 493896957889218938937498624896a - 499079468848917608737968507616 )x^{15} + (-189671389774813325449838241264a^{2} + 559855135589705949625622006608a - 62709856946234613243058454448 )x^{14} + (628574869752164674540097478304a^{2} + 485157774772725930945314834976a + 266759540057719795222663658384 )x^{13} + (-205331803792467688114511423264a^{2} + 157723879017470298878304801328a - 323111484384494997828131197680 )x^{12} + (-51548550248546461559402237056a^{2} - 412392214861746068917699580608a - 540403048303394666190854211104 )x^{11} + (559006248624262940326900521120a^{2} - 112877623577171798969648089504a - 451789919251683985718824839200 )x^{10} + (382446504185044685589996876592a^{2} - 513897112932363645875180912656a - 358058204579966558494216801760 )x^{9} + (-149916341096541193902153148432a^{2} - 546131729748322608636318545856a - 441535266229394133008994019408 )x^{8} + (350599461457030967346171395520a^{2} + 597763230507908558598004273888a + 157682864624821368941058311680 )x^{7} + (171129547763608958772128540656a^{2} + 473846789285112360550685649472a + 234912432605800720576134414320 )x^{6} + (-400012399004698085103968743456a^{2} + 338792293091752960846903358304a - 610824791734394722350372894464 )x^{5} + (334810315664558514125825500560a^{2} - 204266035880087535367444430256a + 438107136572838389978096928864 )x^{4} + (-519739009401566132699908299520a^{2} + 104772086459742194872969109760a + 156102789764975171986820533056 )x^{3} + (-518908958878968012320146650224a^{2} - 262124232760473489342177267184a - 263626817315428367647769267712 )x^{2} + (-461676973331055947710039204544a^{2} + 95993990792354223447290254912a - 170013846232262439681687657888 )x + 86402101950834781935999911196a^{2} - 8630639710237996579677201504a + 576826315595175080124773182844 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary