← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.425286_703596_835882.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((256767069830899570374346007372a^{2} - 308943092743329530771001879094a - 177987517522113529846445315792)\mu_3 + (293134597362896658371337784508a^{2} + 209735127530002041452457254880a - 94588047689218912927564786164))b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (2a - 1)\mu_3 + 4a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 1))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2))c + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + 4\mu_3)c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (323904916216168633756514864688a^{2} - 133864659300902574172976954096a - 58469561039544724505388705200 )x^{47} + (-453163573624515202767866857384a^{2} - 533153446526525324323247895152a - 430039368655370130908444420808 )x^{46} + (-534864509520264767871978909760a^{2} - 217355253666406560541877358888a - 348998680670499617010719556496 )x^{45} + (18672053999014464241452578472a^{2} + 266259556932140049323503922748a - 507029621645662398243679599804 )x^{44} + (-515359249910815729214235010096a^{2} - 559396085131275813335877155104a - 462019529426063924640755454384 )x^{43} + (-489294484600979504777837159184a^{2} - 550190625799655863979214250336a - 100475544627149215574973335300 )x^{42} + (205670102047142458708184234744a^{2} - 274262011472425410689253908352a - 100541320434182758881370536712 )x^{41} + (40895639521000290361976079428a^{2} + 168806498839779139300602398476a - 220487395096922993041292776836 )x^{40} + (433687651186150114835306476608a^{2} + 59862745602138791502783515504a + 578527116936945172188049367104 )x^{39} + (-341793243662237895130826594088a^{2} - 22796210274296538815979092512a - 317570274999343015118714717376 )x^{38} + (432629871030906181719622565304a^{2} - 253155185260403037500448760296a + 255586399294299118907155309280 )x^{37} + (604789060796412178942179184024a^{2} - 559396511166039308666645264912a + 231040020109151171543817744968 )x^{36} + (222059105317519301833524856272a^{2} - 116536450077463344904859921712a + 406699391308931454660424430880 )x^{35} + (-577773481775073286327332054464a^{2} - 175411520828510515940495455760a + 508536200463758539859756233712 )x^{34} + (576120846710413501879476409008a^{2} + 305069113363500056176802217176a - 623725167655171223317009029536 )x^{33} + (-99212563777806541039546095472a^{2} - 344047470351646394281541714632a + 496060895274660042943338816736 )x^{32} + (-365043901593979908263795587824a^{2} - 316849623018532626825218916400a + 268429150288086398032840943600 )x^{31} + (-320590480079794382590911604096a^{2} + 345091552131845811752079887280a + 488394971150190168626800288808 )x^{30} + (-198700655304515721206955883584a^{2} + 175606836471020651853556876016a + 108328977826419885547398504640 )x^{29} + (603739851801684155972384367792a^{2} - 446005013980849569445159503080a + 387339328656463102565443827136 )x^{28} + (521679897700826937738163309600a^{2} - 250032334224106448133803217376a - 295050415744184819472205680224 )x^{27} + (-565458068441366255398103937456a^{2} - 243010071391714996859427063768a + 583663099502124805602911688608 )x^{26} + (36412587901580236796762165312a^{2} - 284896924748242528862619373008a + 84138780773668820163476001232 )x^{25} + (526734582788585839029786047364a^{2} + 29131212900507201907521380868a - 192735479131406224217452575948 )x^{24} + (-358268840854900269903972303360a^{2} - 152491796454295233638378358112a + 387758061897711191379464301056 )x^{23} + (-363870245394096934133705531696a^{2} - 331141813438586968857434829024a - 536607205022203541422708600912 )x^{22} + (-204274111348627720966359557824a^{2} + 608964827438609501945367906192a + 167362823155538741035772478688 )x^{21} + (51933466307321158966940929048a^{2} - 470250744717612008589988835280a + 23817843129400382635190754904 )x^{20} + (-412889278279653570723432291584a^{2} + 304656987436543409671832868992a - 569782669009219235810333909024 )x^{19} + (-509355535698661068075893896752a^{2} + 109161595940116665559645919736a - 162489604375873161212020100376 )x^{18} + (-89217914991992904898724484048a^{2} + 366320031772953255765266140480a + 256048436965578404619407504608 )x^{17} + (-153112560045768829999518104528a^{2} + 348190420610263462931910157960a - 351522264992167059328915198656 )x^{16} + (351861919181025676133228544864a^{2} + 417850457247043087469733565696a + 453724396269809237282703518368 )x^{15} + (22326194781113462718815675568a^{2} - 544802638435615155203986263216a - 70709983926489240074458686800 )x^{14} + (-105852937625541099809218474080a^{2} + 145514352863266355298524477152a + 591659300204446061675322097808 )x^{13} + (-563985456539731664380412661440a^{2} - 210021048364852750395067834752a - 315608304261458088858184518000 )x^{12} + (549930895952769144892824396416a^{2} - 192237244185822537019446022400a - 521805133770956652361197542240 )x^{11} + (-311503535276530011978678037184a^{2} - 265627753661463856032140532352a - 303399823824833961700950892608 )x^{10} + (521658678120455677330689324112a^{2} + 332650252932354512927157090704a - 375190054167963119971122325504 )x^{9} + (-367150806095419822983359979536a^{2} + 381732064448303156905438888176a - 340755719099514653447598950432 )x^{8} + (-558815652826537312267288211072a^{2} - 337092339842769178656714762272a - 131125738235781171908269487104 )x^{7} + (-417110386118262810700007170736a^{2} + 54468731033627294514529513984a - 311587047754053277773877391632 )x^{6} + (533330755268044255927563268192a^{2} - 428430062330370088876975928736a - 102590310415556501538693598592 )x^{5} + (-152140025075055431367338826000a^{2} - 291495793521291495414021588592a - 415571818438184361936942024416 )x^{4} + (-345603370810007781289863894720a^{2} - 331115335863520603989391862656a - 586827451771190564584514616000 )x^{3} + (-364667431237735494387926489520a^{2} - 128615217680041758109900547216a + 441828924826117559624390178848 )x^{2} + (182384802711206706317188196064a^{2} - 159247414247889877601810049216a - 242998461275623981992350469088 )x + 115029327806659783005972149340a^{2} - 178330123075177346697898266320a - 579508845587446527605683306948 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary