← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.425286_703596_835882.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((256767069830899570374346007372a^{2} - 308943092743329530771001879094a - 177987517522113529846445315792)\mu_3 + (293134597362896658371337784508a^{2} + 209735127530002041452457254880a - 94588047689218912927564786164))b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (2a - 1)\mu_3 + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 1))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2))c + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + 4\mu_3)c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-58469561039544724505388705176a^{2} - 323904916216168633756514864712a + 75395098261357849667588248896 )x^{47} + (486635831153957919740210929312a^{2} - 206709303891806708268499249676a - 115755084759399494176946672968 )x^{46} + (88704634888368468327426723704a^{2} - 442944747002921860744901779880a - 89827626880530101188450766360 )x^{45} + (-97004331463146233393477745968a^{2} - 513656231835253171608044022560a - 557801057828482488014005312924 )x^{44} + (45629490733201201661895663536a^{2} - 264229632485239266253864295056a - 531593580848489601947527223680 )x^{43} + (-366199095007795423934431358148a^{2} + 258784872055993374489212467396a + 394055939917094639939871388868 )x^{42} + (-169555892468285102444319825352a^{2} - 364528916979629102493958787240a + 446274936413084466880767487360 )x^{41} + (530147899392532862487156008612a^{2} - 328076212773564176832208214236a - 42709488852280134659963175808 )x^{40} + (47258949184540128430959376432a^{2} + 185822355229812324472875285808a + 304549287892346015461405443376 )x^{39} + (-593038755436778162151023936824a^{2} - 612674363899661379970357011880a + 33348779357287690321189179232 )x^{38} + (535410651773429352903768344640a^{2} - 255572761135186682332885142528a - 236558427867448169166663655968 )x^{37} + (-342235478154756440487118131420a^{2} - 377833587841216814004144377612a - 531891929583450687450395106592 )x^{36} + (580401200838788194924213463488a^{2} - 480384603316940389040368464896a + 166912230652576558604896116864 )x^{35} + (-128933293975376145074939039456a^{2} - 100132003630793994020169621208a - 492440720863530411318683060904 )x^{34} + (-431119177242052197613373904392a^{2} + 40983084254487875917029152328a + 255719848350182646935202687616 )x^{33} + (633500403916932074285133460176a^{2} + 14365871910884993528017802952a + 386846251504237279570356756072 )x^{32} + (-561635211371676329820008733104a^{2} + 117286454976814762690612462240a + 75872210210371988593508140800 )x^{31} + (360110700856441374943497377488a^{2} - 102155559943279591238588558136a + 252356706094379519561130664872 )x^{30} + (278119575716322928764653703432a^{2} + 427780623918082372319446065680a - 104719940960977575497823047760 )x^{29} + (500754479516898739488121795136a^{2} - 46015860838097285063627588072a - 84646984288283819295909948992 )x^{28} + (-586899284543336505036558577504a^{2} + 48263746527728039519885615632a + 622466910736963455574235129712 )x^{27} + (-13636038569619776011128787808a^{2} + 476782874662160845331769642656a - 329837044323637673191921726168 )x^{26} + (285816286087690032793927360a^{2} + 494126921512986030295203715424a + 217545106419375424284294406784 )x^{25} + (-511533372873933342282017142944a^{2} - 27348627568933363179111564880a + 321604784705709000601507389408 )x^{24} + (-346862627949366725370164338192a^{2} + 66754049977575698639102947664a + 258102980418948514200063299424 )x^{23} + (210776752664656670467928098512a^{2} + 623077376327502692595485928392a + 381897343561145164841856966640 )x^{22} + (-44194497104956542647266317472a^{2} + 191240450842548431055140886688a - 595274659884805709757513465008 )x^{21} + (-152337397735390967761203544944a^{2} + 48203806385756399423287116880a + 581111725788414642200039760376 )x^{20} + (-126003777168351354868976805440a^{2} - 312453641376341532608681731712a - 397295013548929389253026771104 )x^{19} + (92427581894946749894474260088a^{2} + 343661758596712037405999971976a - 173374118358813400233006966248 )x^{18} + (-53212406735183111623398096240a^{2} + 209914965619169011525732550256a + 213579277373360893745940059648 )x^{17} + (405848325637166393513428581832a^{2} - 97617727773563373855807374664a + 455527983602501210209399464592 )x^{16} + (342673710808975268793213661568a^{2} - 620519781620491485687979605152a + 616588186269608806321193495552 )x^{15} + (390306255536125418061428472560a^{2} + 135032834107970377934550608240a + 8169905677899810265845698624 )x^{14} + (-450715010864881603847963495360a^{2} + 527655868708098708724269861024a - 308885905458514359916446114624 )x^{13} + (-427783281019636191068203295080a^{2} + 249989405140943484288764025768a - 106598295595375713158353861696 )x^{12} + (-272645638117379614801097447744a^{2} + 243005043526381786358820793408a - 281264756327553277552295757856 )x^{11} + (-599134652756180675325687950336a^{2} + 37695510302717586598870374704a - 235785931914996095778983265200 )x^{10} + (-97635348211771465879163704240a^{2} - 286823059951807491286914584240a - 104038118658473084339764222944 )x^{9} + (-267154197414971584622117550176a^{2} + 37643567922149709470757264400a - 626808815850892429892290022672 )x^{8} + (-182218558770632401807056452576a^{2} - 524260342502644236796549201472a - 284107624347103520177638508928 )x^{7} + (-533233481457651890393104402544a^{2} - 309047519269264285589513839712a + 385954733684671039353593572832 )x^{6} + (-398110976734139693254520606736a^{2} + 405564638598014391700166176864a + 541255903513383282268414008288 )x^{5} + (449234554486775556279174057376a^{2} + 284055339710074240638863156912a + 149174582653372541795561505504 )x^{4} + (-38399631432376925952311602112a^{2} + 354399223598860480794599905568a + 270082732708811866829563599072 )x^{3} + (-502126044131175962891251457504a^{2} + 385159107544688801437378425088a - 60355333232013603610893819792 )x^{2} + (-55041804461198340185792091328a^{2} + 63506136308779456928681413248a + 72516392086242847533432315520 )x - 197719217629518161698093654720a^{2} - 127900267808213305987363011552a - 551017245266774635752618256340 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary