← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.425286_703596_835882.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((256767069830899570374346007372a^{2} - 308943092743329530771001879094a - 177987517522113529846445315792)\mu_3 + (293134597362896658371337784508a^{2} + 209735127530002041452457254880a - 94588047689218912927564786164))b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (2a - 1)\mu_3 + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 1))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2))c + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + 4\mu_3)c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-58469561039544724505388705176a^{2} - 323904916216168633756514864712a + 75395098261357849667588248896 )x^{47} + (312129275997968751880788482176a^{2} + 591096086819150185119318234132a + 284393953510584839292056796568 )x^{46} + (-83776108483452996083952549080a^{2} - 414051895816620039798405095896a + 470710022063193042857537104472 )x^{45} + (-136473872684068194181760336944a^{2} - 294351939594234075261745748736a - 130240329638696824356579055956 )x^{44} + (159495726695341144445819047184a^{2} + 22044382734887143035784748080a + 541758442359645708477494156752 )x^{43} + (-198134820539260035564537333236a^{2} - 69184528253828026889276556588a - 487516669817854022179241787852 )x^{42} + (22200411543433925805204339536a^{2} - 562820362658799132773165419880a - 217575287602865563094387869736 )x^{41} + (-623001082885274377575712037348a^{2} + 324545387837876851574436511556a + 268815335125549343605424535400 )x^{40} + (-333115342253882473332951839376a^{2} + 282825579406877012942263724208a - 221647589332076033904570477616 )x^{39} + (-233436857170880312891598128216a^{2} - 623447728396634725169777059944a + 552775028245157136214223476736 )x^{38} + (397645696015615485545494659584a^{2} - 119705730872756042277765215744a + 10342606718672077583357925856 )x^{37} + (-551155317852336362219349937324a^{2} - 111676634502645995781719277996a - 321952885665937377948838677336 )x^{36} + (-543918782098049153792104485776a^{2} + 531388461060566996588504287104a - 559692055116859531696905439488 )x^{35} + (-571081727560249037974943579864a^{2} + 418257048973246631115136937536a - 622165901003842339423909122192 )x^{34} + (-246253337181941638238470663768a^{2} + 17868831228508308820264955016a + 607772392034319192586913097152 )x^{33} + (-33341077677124354873057773200a^{2} + 257180143004563047914440840848a - 353880623115917596977478491096 )x^{32} + (-46886236934565001652902962864a^{2} + 71720513794315469245399222496a - 204246690928783116475836478272 )x^{31} + (-575841345129741577125996988832a^{2} + 274017305361660522405057319112a - 533031313274228469989950084744 )x^{30} + (-616555525850200842023580230328a^{2} + 192376192094528290164931635856a + 106714473876911183369738957584 )x^{29} + (142825987491708910242467378416a^{2} + 559894195153101540545139476056a + 66657881691172828993045184096 )x^{28} + (-575159833186413739512320618048a^{2} - 382755025717439112834569039184a - 541257722906712835185243523856 )x^{27} + (-409387654144602004339458813856a^{2} - 310255226797447333390108996016a + 404415997452081895790393403784 )x^{26} + (-350729829595294991239527766752a^{2} + 454837291904558815843181855456a + 76777740498719402395323077952 )x^{25} + (-604007392691039655183794733920a^{2} - 490144256467329939150222812624a + 459984413702107453332049273384 )x^{24} + (-303807972073745013266378335408a^{2} - 394361738958395772822150179472a - 375226184572825569511360641856 )x^{23} + (130050952192759366709149037856a^{2} + 406616240116026575079198725192a - 421464302019304602794932333904 )x^{22} + (-6221730078139999840130369056a^{2} - 94555200603972383284216992928a + 507352437542945805723857045648 )x^{21} + (-255660508799939000049411169424a^{2} + 624972250097718909885322547744a - 289469872001212944893371582520 )x^{20} + (614062832131789351517810707392a^{2} + 462338800987756545984522474944a + 364969907522043334769600358336 )x^{19} + (232826783226469309978677302168a^{2} - 363698363528379525269439335768a - 37196346000867273546853021944 )x^{18} + (12433863960376976560787403520a^{2} + 124938104312198284056784626512a - 85879457339623420019013375568 )x^{17} + (616723501741561169247995701608a^{2} - 137393073522304239087426177848a - 337695511081488893588279059120 )x^{16} + (598063854251390699719812280192a^{2} - 499547165529197838529044357280a - 91262923792596306385109616320 )x^{15} + (483005461266375386987084707376a^{2} - 345925109280689860000144338960a - 424467734242453831430908563360 )x^{14} + (-597147820792619073098057997504a^{2} - 35000814213877310608520636064a + 118263749669962350150481039296 )x^{13} + (368809481783952905618294029592a^{2} - 248874571231042244274753758936a + 340354247134490244797769196336 )x^{12} + (-84403819749281103833211607456a^{2} - 458004416756033787481947451520a - 305807242689370406964007246944 )x^{11} + (-431009997422036074097665954800a^{2} - 520951945953954239507841546368a + 399879158187957293137429423136 )x^{10} + (170708803800202200580750498192a^{2} - 465701091390848360279301660464a + 597532462286703007349863620480 )x^{9} + (521491208760571067848897194848a^{2} - 362783219845893006226353147968a + 500874827634601009722174352944 )x^{8} + (627828466923379047094400865312a^{2} + 288321857111834508535909867776a + 250527865567859222629110604864 )x^{7} + (496439534413624679415678285872a^{2} - 463908088369449161937428483776a - 411867960737134116799044646528 )x^{6} + (236864395094675248540443142768a^{2} - 53714218682363531487076262144a + 212003987540460194255754859392 )x^{5} + (513764450038212886934877603328a^{2} + 142430553278143911683081332976a - 94435922393234920524850129632 )x^{4} + (447377503913364819108491441152a^{2} - 342385076512038644448435853984a - 407482670210070176728604051232 )x^{3} + (227210486194844798973915872544a^{2} - 394385065317215281316476956672a - 184518265891887191821878423184 )x^{2} + (-325217705457207323668036745280a^{2} - 504147374850221892551782571456a + 43079398479056824410255143616 )x + 531435675885131012145351319792a^{2} - 217010768696304719949380464784a + 329440966241020194596994728060 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary