← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.425286_703596_835882.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((256767069830899570374346007372a^{2} - 308943092743329530771001879094a - 177987517522113529846445315792)\mu_3 + (293134597362896658371337784508a^{2} + 209735127530002041452457254880a - 94588047689218912927564786164))b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (2a - 1)\mu_3 + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 1))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2))c + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + 4\mu_3)c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-58469561039544724505388705176a^{2} - 323904916216168633756514864712a + 75395098261357849667588248896 )x^{47} + (177675750712797008978900234624a^{2} + 68057700206689082223826951028a - 99166985039100829186496553544 )x^{46} + (-427905682509219129516287000856a^{2} - 504616729028376232754759073640a - 70097538663217809454047038936 )x^{45} + (88002037503931479527488308624a^{2} + 191881645456847981266578915696a + 217168303421852741102327646364 )x^{44} + (-429741186190260421551153663264a^{2} - 331785127576647016550864030960a - 362661414514706825496839028640 )x^{43} + (-475687132892227688247649317980a^{2} - 362464897860310982537408153468a - 425010169304502184932187164700 )x^{42} + (296830037069093824607240302024a^{2} - 265238485960081108282935900792a + 182614062128077530819472508840 )x^{41} + (-55749309229595105855301251500a^{2} - 146876461418321458338944100836a + 385075748651205835916263603888 )x^{40} + (-198968519451917404375214571056a^{2} + 348908744757527757110378043120a + 490840309161121589671613624080 )x^{39} + (-160289126362315903286233244376a^{2} + 606455876772340425746781549304a - 469979344210704941249422020704 )x^{38} + (-20229702661517009323278858368a^{2} - 375779258834799574774823247936a - 108484154864772853511943009792 )x^{37} + (-484090160723231926199283327116a^{2} + 134772904881573834331468991404a - 389070229934932746813653382824 )x^{36} + (-122744599041739240310046667376a^{2} - 551954813397840698005551803440a + 88620023379015581373386325344 )x^{35} + (-310779185180218465829438296360a^{2} - 591587247852677972337691769128a + 223868482189214313739905328256 )x^{34} + (65792194944977767280114571592a^{2} - 406910387761393003861284883000a - 463329683727266009541344070672 )x^{33} + (-337597278707553423082480103808a^{2} + 482969271572633002561500199936a + 80562250037513364596727546904 )x^{32} + (-469023461417566098095926343216a^{2} + 59428607191887461962531558688a + 193696969481051849925888600960 )x^{31} + (503738940281778932993107866768a^{2} - 538267496561951394043504421000a - 559650749805199207264528808232 )x^{30} + (-344740148895192242351572003800a^{2} + 519931412308381591224136010672a - 61183255820485244936733070576 )x^{29} + (-648330675284577030025113024a^{2} + 261723846947135793895034291576a + 500635002846571028605351637392 )x^{28} + (-32046792173855232884780984864a^{2} - 247914132772608194536146752592a - 223771693551439626383679340976 )x^{27} + (329219820574990386924427003024a^{2} - 83902259736452644893276788240a + 394513493437546447278726899832 )x^{26} + (555827832599038558656388561216a^{2} + 97211231797861385419612454304a + 48809269550759057167290019008 )x^{25} + (-212085182784296384532253683392a^{2} + 192438950020389832171208593728a - 134140029826576398931004522504 )x^{24} + (622151252069825383398211022896a^{2} + 274402910663293315522887180368a - 599069120492425253317071990976 )x^{23} + (-417298958335411457644797749472a^{2} + 337152520053356088441644592376a + 273694570101145883755394600944 )x^{22} + (-386756609749851609378316450848a^{2} - 478947560702216259390336930176a - 413513169349643215278392214512 )x^{21} + (-435222467934754405246336966032a^{2} + 336240276152732191680397655648a + 294007338562622194769248214264 )x^{20} + (-98536063207753248247249264480a^{2} + 296836961609968123721870186880a - 538195876320406686421362437792 )x^{19} + (448713259512548488267936529448a^{2} + 348897628576698902506507598344a + 41323457426873857235951252584 )x^{18} + (-296530300592955014180179031024a^{2} + 552866886742784950248595878896a + 569835924728919438110430294064 )x^{17} + (-147973918645410727139446930040a^{2} + 395386906589632828591694872904a + 185711860320786135607087985184 )x^{16} + (214881595682838381770746728832a^{2} - 186042715460053873610235692384a - 546547838205986788534629705984 )x^{15} + (-532279147335556563269046915568a^{2} - 549487998047070476697190946352a - 25095460668533283099977385408 )x^{14} + (-379124627836770343764823959552a^{2} + 503897432637617796232459411616a - 320283522570929187633146416640 )x^{13} + (55742890125022904909038824248a^{2} + 561523684977035514805975253496a + 96568294874325672212126668560 )x^{12} + (-627973308622190915748371308128a^{2} - 319400983118902299244997602592a - 525128211660733307477521639328 )x^{11} + (561126273934620343344611792560a^{2} + 340760237627109095707363963632a + 344436758785744312499769609760 )x^{10} + (-168898184984235434603879930864a^{2} - 203142161635480310826713141616a + 10402285235860105486829181664 )x^{9} + (322569717392735463753793358336a^{2} + 398818048435687678322551117440a + 93358883065849076762662273040 )x^{8} + (359108852584885746878389687520a^{2} + 416529463552654139579634072064a + 536923552652635140955504531776 )x^{7} + (146563709774686211028851242864a^{2} - 313157679251454333415399322272a + 629188466458936885110650497280 )x^{6} + (70282366067927274401785363344a^{2} + 291298498017912508491776918080a + 207317443348133673115708622400 )x^{5} + (185082595644351968117780799712a^{2} + 276800517039409858394715889008a + 463793456288894627312892070976 )x^{4} + (186682867503033742645765647936a^{2} + 79240743484646253534512479840a - 41692351580478008212194290400 )x^{3} + (-295360202398907722616274988992a^{2} - 355030800920079411048070051904a + 48156707173188815283608669552 )x^{2} + (-78985866927832684763466478976a^{2} + 13882824227641859141392610688a - 74526866615927991877332958016 )x - 587788223769989323200703133744a^{2} - 478494270159698087682887149616a - 159432466319047394055548722788 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary