← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.425286_703596_835882.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((256767069830899570374346007372a^{2} - 308943092743329530771001879094a - 177987517522113529846445315792)\mu_3 + (293134597362896658371337784508a^{2} + 209735127530002041452457254880a - 94588047689218912927564786164))b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (2a - 1)\mu_3 + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 1))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2))c + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + 4\mu_3)c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-58469561039544724505388705176a^{2} - 323904916216168633756514864712a + 75395098261357849667588248896 )x^{47} + (-353283046481422200039189455072a^{2} + 107632495972537204429775221140a - 390247908432988694331598776744 )x^{46} + (-427518028495614890034331204168a^{2} + 273409922922447865387653166632a - 257370706404489368388848357512 )x^{45} + (-552085293512780371049244964512a^{2} - 448764092547995779526861577296a + 434011382927095870231110353812 )x^{44} + (-182339163602052120225450101248a^{2} - 500864324435587098024587186736a - 276978002877979429871611286864 )x^{43} + (440416510400547076147650064948a^{2} + 50636751193125541858520487204a + 549903109468061085318126927236 )x^{42} + (4652156051370470538352020608a^{2} + 133040874893672087503846490776a - 532231414542585045675150781680 )x^{41} + (-79139093004646816623007737940a^{2} + 412352508792676796305172389100a - 332327518646381504964720696888 )x^{40} + (-292269873018597850301025018416a^{2} + 528813012376601826292241965872a + 66971411588857637374102017776 )x^{39} + (-441554421625599112784261145976a^{2} - 20878207308072219104518741448a - 413989953944957458728559793984 )x^{38} + (73246795635244222667648994496a^{2} + 378944078013923265355188260864a - 217123004759644146176793927232 )x^{37} + (471787287965640005118621553828a^{2} + 127717096402021582000854521468a - 91084919273775115604658255360 )x^{36} + (-534784156193785712870629053824a^{2} - 219874543985793130425115992240a - 209990881823500608369614230816 )x^{35} + (-454399608646699662348645960304a^{2} - 212481520382963657826829702240a + 502349026460810241574659718792 )x^{34} + (-402220205231205169874410135304a^{2} - 431614909726802672717346785368a - 398387276308873446053069386032 )x^{33} + (-476607888461751866432624558096a^{2} - 94874199876520205117821027160a + 79231575436625848523400814696 )x^{32} + (58959702524181381773883612496a^{2} - 598951445160098571621771914144a + 247518987626764590297742760000 )x^{31} + (-158956271177052356794900713888a^{2} + 494087471746472066488167902456a + 629086866211182924049528993864 )x^{30} + (388088535839432005275778780776a^{2} - 392076536769822525943152395280a - 389003789823899518223509687440 )x^{29} + (-34582361251078256455769646512a^{2} - 302122827597444871926972152232a + 493697749299820550431332534608 )x^{28} + (-126482268168850465856228709696a^{2} - 303874888396278073998561754864a - 461165675775125296305861664560 )x^{27} + (-594646473388372650507721581616a^{2} - 514755270477443448351632043872a + 184279402309715131120217376184 )x^{26} + (14683326896552684376546185248a^{2} + 469522383858050972817980534304a - 474933785959939224959770321664 )x^{25} + (-441161618724108144636514914096a^{2} - 492340053579308019957094924976a - 570568685398794376027900374192 )x^{24} + (-359855252281635692009182035632a^{2} - 7410120130578926548480193488a + 406357468608316627734519595296 )x^{23} + (-314833659927021250787509843024a^{2} + 166236111635216045470714043288a + 538483406761616913193340575440 )x^{22} + (-205145838520767852057639849312a^{2} - 228494475570180192792579062592a + 198846807623809368759869334928 )x^{21} + (83107650474109993364061187600a^{2} - 221010087326033265264340895216a - 555289600825728521303874628152 )x^{20} + (590711905277378696743663589152a^{2} + 303599250495998970957828579392a - 160551539929475834908067216576 )x^{19} + (415487368757943971144211423016a^{2} - 595826335391111160878458931992a - 136711329435327320369650432296 )x^{18} + (32285102258404530630578772000a^{2} + 469831016342910152732803336528a - 77883158486008668897991611776 )x^{17} + (-431516356672251065019240854904a^{2} - 595253701522003384183950167784a + 366702753228342689906270740288 )x^{16} + (209283945289125504033349546624a^{2} + 7121101640592431144605181344a + 380672967915706906969315823040 )x^{15} + (-282493768564029878607384492720a^{2} - 265271059998336529625561678320a - 633133492701042743418678243488 )x^{14} + (-291789524772623921405130258176a^{2} + 506352681990628343670846979168a + 4089087422343464959057799936 )x^{13} + (558149173201524257434658595416a^{2} + 379224909669620645058635629848a + 461224582183400262337448951392 )x^{12} + (267365821260527690337592782272a^{2} + 503653683414066080759499879200a + 455370637936346989427936031904 )x^{11} + (334987986998372679585198935200a^{2} - 176327555105932732673453465728a + 382755192428703130398731586160 )x^{10} + (583315373325749394604092423632a^{2} + 608957734404649562650564000080a + 607019293457841990535689609152 )x^{9} + (-539272918216233458328807954528a^{2} - 177995919864901815904206055728a + 93938986525905411387257363568 )x^{8} + (38323558755736550817482753120a^{2} - 595503422106579236316135597248a + 625395199379486442895138836480 )x^{7} + (123506802266274962131862660176a^{2} + 626703477439497783292471247616a + 420078084092927887591363391392 )x^{6} + (60964603698446732537322899408a^{2} + 32546497306932221369956829216a + 191715980078790374708459243360 )x^{5} + (-608217023909366152446355624000a^{2} - 505215093777381889223411362640a - 228250301536831487772934354688 )x^{4} + (443113547112648521578752320512a^{2} - 559443494958481516257649302880a + 190312131260330361738264041376 )x^{3} + (-628532889420954283158608614656a^{2} - 383021056811321201319514365952a + 226266360368913458025633904 )x^{2} + (-560545175269915559516416519936a^{2} + 124363649000933618364279158080a + 625629125552538778460127029248 )x + 262151514093652825470287563136a^{2} - 108598677977417654416683658400a + 52173172801225499293298342156 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary