← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.425286_703596_835882.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((256767069830899570374346007372a^{2} - 308943092743329530771001879094a - 177987517522113529846445315792)\mu_3 + (293134597362896658371337784508a^{2} + 209735127530002041452457254880a - 94588047689218912927564786164))b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (2a - 1)\mu_3 + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 1))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2))c + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + 4\mu_3)c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (323904916216168633756514864688a^{2} - 133864659300902574172976954096a - 58469561039544724505388705200 )x^{47} + (-57791479385310740918444891576a^{2} - 61226404561002711903148861216a + 87295313794563875518790808440 )x^{46} + (-11860933719488622747215158864a^{2} - 437544942952919030485870324984a - 29183228519207495906108425136 )x^{45} + (-358734818463734462169367788944a^{2} + 504897134190412947941598745444a + 255315100535554779705963225484 )x^{44} + (-449477633900989050696512293424a^{2} + 522831588499208682112809965248a - 464106117768862568738355233936 )x^{43} + (-106594224628504890500771253048a^{2} - 229342542254847248793435137064a + 3867963455433393246657597932 )x^{42} + (236226228370236942300327619448a^{2} + 2646723227188381700679824432a - 358538642620037708650777961048 )x^{41} + (253544293224444601104607682380a^{2} + 620012949618603279607863303340a - 469060600789846156271635393660 )x^{40} + (536447224543441230103601141664a^{2} + 417589540873616398029284564784a + 570429264829683536176985700704 )x^{39} + (-207384035713208318775584997288a^{2} + 18931491782149714897397916784a - 467114107247206170941957378560 )x^{38} + (429481903882942750741464474040a^{2} - 63339039606419615404980422136a + 526038939855190994070936204240 )x^{37} + (-192827134029512210824952456368a^{2} + 440791603912176564524085008952a - 312883535106159776289632952480 )x^{36} + (-295094468569156873070871407568a^{2} + 472366870914249503211589765552a - 220093218412989977536832300448 )x^{35} + (523395749088168475714950836624a^{2} - 18927272177063921583389993472a + 225493888893990127456551037376 )x^{34} + (-583689854877394687513013605408a^{2} + 497315299025403754364933809096a + 617187569531773614063457732448 )x^{33} + (373643026326270020159954601800a^{2} - 420801619460495693767193361008a + 555815405676265523892204564280 )x^{32} + (-148657452487359862170436095920a^{2} + 87380405304620839263784683088a + 403465621555818751244958189168 )x^{31} + (404812907486679028514878490000a^{2} - 208909187777244602788853148816a - 24235220109184214560024140936 )x^{30} + (-382128728315930472268049566976a^{2} - 107230489826853671769052309328a - 576962577289277116535611656928 )x^{29} + (-354287278445762559848038813824a^{2} + 221646885133554983161553215576a + 518873232302272317417361242480 )x^{28} + (454167102544250933771446336832a^{2} + 480195098300535328805649819808a + 492038657310307792521653829760 )x^{27} + (-234765981939513772058833915648a^{2} + 18307142213688414861929620120a + 495756543662570708831352312416 )x^{26} + (499729592572168679823035539568a^{2} + 484517340327999564909299673120a + 193935100102906540353207573408 )x^{25} + (98542749732506818668822604628a^{2} + 530960514995132604526680599636a - 462934181767906028289701105516 )x^{24} + (-567002628234306098857639148992a^{2} + 254958010044422106088343914400a + 27938193665488301230639302400 )x^{23} + (298665367298145674533239451792a^{2} - 447274627587370462491521631232a - 156866944161326468099553088688 )x^{22} + (-338489600855017382998439769504a^{2} + 497712952173539955947764843696a - 554157032805048021128680411744 )x^{21} + (36989335451708303221968096392a^{2} + 22557181448602540801319360336a + 418122950253530025447022614952 )x^{20} + (205678210741219852596642573056a^{2} - 243996720263208844513309559040a - 524534893186091878158155085600 )x^{19} + (510231009069722673614566462704a^{2} + 164843361603368661528452447128a + 1710200909618913832022039608 )x^{18} + (-275783707351212789157798718768a^{2} + 18340764540087791364054818272a + 365095428230035453603050302400 )x^{17} + (-433974736170872233457452841792a^{2} - 32656886685171426129837008824a - 594149380844708181646954641616 )x^{16} + (-316727007578772437347674119712a^{2} + 95157699959473154269696733440a + 547680514619893666439746081312 )x^{15} + (561014218332767423488259383952a^{2} - 246172242951585058048104108336a - 506325649993454186273737312464 )x^{14} + (-562463629983340616597085782880a^{2} - 117032438240935668401998959328a - 176089815575085685924840903792 )x^{13} + (227731698005564904476131248128a^{2} + 606546001560948156653687100624a - 88861574007417071976135458864 )x^{12} + (150506635089680519274216268224a^{2} - 249211449096320186538778120576a - 631035780153762524893318838752 )x^{11} + (-16871210807481638754292764864a^{2} + 94642220943490800789805333824a - 137029101592491924870864382528 )x^{10} + (472887572625259111663825681488a^{2} - 226048237539481987773296990768a + 276104561194267671751057344672 )x^{9} + (-194456019356760402411228987248a^{2} + 436307520318782166301354386752a - 460818197937913005418344524256 )x^{8} + (543594203933951850358608473600a^{2} - 346697573281126588702312566560a + 22531671278321403601646590144 )x^{7} + (474320800624547803208352163760a^{2} - 233777842048985844392739204000a - 305254240926302357092582560784 )x^{6} + (305831893181272929634033279712a^{2} - 612729058646275899516567968608a - 190879089675431095484023415488 )x^{5} + (-540784161033527037824427916720a^{2} + 514666856114190200734566701616a - 299848321559172558887764677760 )x^{4} + (582051094215822858678870204928a^{2} + 311682192380191776129192702080a + 493823932271047427117184589376 )x^{3} + (35533637728509422974098939472a^{2} + 386470048301140715929173982160a - 515255674652256900188885618976 )x^{2} + (355335539300625085490151340320a^{2} + 407963967070379278438101906208a + 386739087460311114681987609824 )x + 585797324032944733956378066492a^{2} + 451043235705212914832358892432a + 27145145416831670124141456188 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary