← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.425286_703596_835882.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((256767069830899570374346007372a^{2} - 308943092743329530771001879094a - 177987517522113529846445315792)\mu_3 + (293134597362896658371337784508a^{2} + 209735127530002041452457254880a - 94588047689218912927564786164))b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (2a - 1)\mu_3 + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 1))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2))c + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + 4\mu_3)c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (323904916216168633756514864688a^{2} - 133864659300902574172976954096a - 58469561039544724505388705200 )x^{47} + (-446666728425171790973080134712a^{2} + 416966786713116218170933256304a - 331001508909609450738286682824 )x^{46} + (417416205026446858594405967024a^{2} - 617505086787222215028968283112a + 126615090220825800991688541488 )x^{45} + (258202210674360951776149254056a^{2} - 101268194314828599181314798908a - 202580330165250923958908047412 )x^{44} + (239513482268725379251312606016a^{2} + 451613522896665446496503341808a - 318845012647466831281850371008 )x^{43} + (-601080362541172484606271130792a^{2} + 404492468891310296195696993296a + 66063803240450363098361365652 )x^{42} + (468257299793948829224818571512a^{2} - 630447263683771482403520406784a + 160656290639168744549148071160 )x^{41} + (50362075071618146694799640236a^{2} - 319252290532817867730068084964a + 188757231261075713986967769740 )x^{40} + (370885715090538593427298440992a^{2} + 442793322214399996570073409200a - 613230549762701069099405992032 )x^{39} + (-321057064928160987432492541000a^{2} - 159696242456642475717668126448a - 39517460453209036310976055984 )x^{38} + (410562477141240171393653847080a^{2} + 431288741827159711139874416664a - 613421209613544086891582286912 )x^{37} + (-497035903389864676079720009520a^{2} - 177802305100784647662022682752a + 500349408675444372063965188456 )x^{36} + (497154648712562286100754954832a^{2} + 619777060973446941770221447824a + 287946340406537200251777005024 )x^{35} + (-37300592235019554211881330448a^{2} - 369416479201678150850631143392a - 214753698060885755642815583984 )x^{34} + (-428416621790879054884339685536a^{2} + 472237409927532861483414871800a + 230169771091849584393282829312 )x^{33} + (-338323571454988705797070505080a^{2} + 197360404525549928185986248208a + 304726619891405092543008658672 )x^{32} + (-321571113761496829043318079152a^{2} + 34289097343319608508425352592a + 456973423942222755097695050608 )x^{31} + (393958197891431627441038593424a^{2} + 62947590090430676156182754976a - 211620691511872043062850929784 )x^{30} + (447209992854409514092964028576a^{2} - 613164989899470467210741754544a + 416572770229714006365582926944 )x^{29} + (-439697584485307275269935320960a^{2} - 272678509707039920390272559512a + 401694697651866846916084817024 )x^{28} + (385606291768132013962535752352a^{2} - 480807139191352704319836163136a - 366692310459410350985643746240 )x^{27} + (564553482166523108118285303024a^{2} - 17541833482658966424942000488a + 632697994944230046267177887984 )x^{26} + (248229956528536049772723036032a^{2} - 117031520777406197288711083488a - 520001474442058089040725588432 )x^{25} + (-52031373917034261729909413532a^{2} + 264668447431512560382879226140a - 470609281202244112932320847428 )x^{24} + (-143031601991066538489701752320a^{2} + 261398439334684202909441883488a + 340766755880763184169809963520 )x^{23} + (-101223678668403297378685274576a^{2} - 137688914879550537955289602112a + 104560810630859632641445859504 )x^{22} + (-266347031464966888604675397472a^{2} - 486463270683602271660251840944a - 65414063353594791182254601760 )x^{21} + (-331149942121410822697570570856a^{2} - 343890679690713291653255742144a + 426354344895766367709428177768 )x^{20} + (-491408075049588320043592604544a^{2} + 417267669922970200760850582560a - 143046994645715897675929621280 )x^{19} + (-349954383166517475429324902096a^{2} + 425717138551886362396827164824a + 398427399972463723981928583448 )x^{18} + (349278627034871231726438486704a^{2} - 147170351228726283738577063488a - 97136454700009663605087575552 )x^{17} + (-555668977045569799214381161264a^{2} + 525425126278755631746058820536a - 133170564874387195360034971840 )x^{16} + (-278548537374976871308528570912a^{2} - 13176357656240827185078538624a + 267386486538455379326237496992 )x^{15} + (164074281991749848595472125488a^{2} + 447723449318322752020194774992a + 230657766231950919124817513104 )x^{14} + (-260538945279884015190070895200a^{2} + 620191010391522800722524898016a - 141392484593801040252412632432 )x^{13} + (277858823489738964581262997056a^{2} + 232446761021679472614800305504a + 430863962198074248095556855664 )x^{12} + (569226994302320227147121347392a^{2} + 292023422560033186321336071616a + 109906263537540197978721636064 )x^{11} + (-267534248474990231898606669408a^{2} + 76390368740884288274000226400a + 18967544842689657479389035936 )x^{10} + (51289755193229723772211809648a^{2} + 604278783307609745462184369712a - 539645073145728431788958708992 )x^{9} + (-147208713429710133207905063600a^{2} - 567262385475568071918953533040a - 316722088682043092750932490160 )x^{8} + (-237501330654813301437310405440a^{2} - 576300497013335236630014482848a + 36296045805579502992463911616 )x^{7} + (503685387582273753755912255120a^{2} - 103202273151392738605916381536a - 623306131991493112132370878544 )x^{6} + (-399979919071098935149137247520a^{2} - 125683692942461803092215641568a - 563996473435366467079822825536 )x^{5} + (-65733545775029012146453922896a^{2} - 178791986281818567655462053712a + 383813474701993566750577024000 )x^{4} + (536490683972676073679493109568a^{2} - 523424897710828057591014769536a + 337902025758395023021131080256 )x^{3} + (-184068094504008427459887335984a^{2} + 572934568092810612007679537840a + 204275411761800034603974558592 )x^{2} + (-556583651219856858047298609408a^{2} - 581117567720155780449878548320a + 328214428942855689853259913312 )x + 268086277278942604649537219868a^{2} + 65491560580349698564915590624a + 248281492010718758026616542268 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary