← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.425286_703596_835882.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((256767069830899570374346007372a^{2} - 308943092743329530771001879094a - 177987517522113529846445315792)\mu_3 + (293134597362896658371337784508a^{2} + 209735127530002041452457254880a - 94588047689218912927564786164))b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (2a - 1)\mu_3 + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 1))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2))c + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + 4\mu_3)c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (323904916216168633756514864688a^{2} - 133864659300902574172976954096a - 58469561039544724505388705200 )x^{47} + (-626679484767198600572280063496a^{2} + 401577374743427573045294110704a + 462468911381020948693607635880 )x^{46} + (255021276075835847477045379456a^{2} + 376642167367803170454920548984a - 393360803944699166128837101632 )x^{45} + (328423249903914791243505079656a^{2} - 166864625582058439940682029388a - 209391480609758734269402115756 )x^{44} + (-86542775916636447521473705072a^{2} - 25148787088361728791448167456a - 106616019550493517093527063968 )x^{43} + (84241058418348960314411802744a^{2} - 535605147718974822266704994272a - 104678356304129100730655750220 )x^{42} + (509128288191745228302908943688a^{2} - 528784134389275982742376616400a + 147928833638170029322517809560 )x^{41} + (204173179647414021045027822316a^{2} - 248463895733904531063880281116a + 55838253374456358263078875108 )x^{40} + (-361119388122381218028564028736a^{2} - 84711067880917507490617365616a - 5467030148896883008328677056 )x^{39} + (94250223792590908285680691912a^{2} - 319586201376841851475922776176a + 104160328625626990228203790752 )x^{38} + (-440431799331068503981491561384a^{2} - 227548061963003274945791686296a + 79606890854452888682767332448 )x^{37} + (112710941250700045007884100488a^{2} + 417795381698447487728498918408a + 139021349663683326999765747360 )x^{36} + (12558629664344487905322007472a^{2} - 346129484964262903517362634864a - 536817986073257225750656667072 )x^{35} + (500104169630832181658821244864a^{2} - 308830265015028645373954909104a - 400888764316448949446436660528 )x^{34} + (-602629620707408662330065873632a^{2} - 492290047834111005670305339032a - 25842888868924748658245785984 )x^{33} + (259614219730597010408643764800a^{2} - 49841865785500195147297311288a + 145201785099239853186028711344 )x^{32} + (-501686524172276905451142351344a^{2} + 440577167950391999165555282512a - 218194425510636407838087815312 )x^{31} + (-584182327305526603787443905136a^{2} + 72483753540700180271878812240a + 558532579934994016534811841448 )x^{30} + (-125534453145507406414549678336a^{2} - 254019659977740462935932665584a - 189508598801082617861465864416 )x^{29} + (-465631877533284746600169212992a^{2} - 526287153686577940067928843496a + 528340317422270974097846172896 )x^{28} + (6096517280476004382485418560a^{2} - 631601434499459973052576444352a + 128448376511683402339964546592 )x^{27} + (570874001249247150551403203472a^{2} - 609660381611080783746415327672a - 385690462847444367402370366752 )x^{26} + (-331714249168931910465698593936a^{2} - 240444354857341653322770770720a + 408504755154495779109223080528 )x^{25} + (-218458745156421396486250325108a^{2} - 97079935691958218505486159716a - 54510108691427861803737870684 )x^{24} + (363425419000168142698597976512a^{2} + 83181368047360833339784191712a - 145915166276137016149242231616 )x^{23} + (49647812026445809688523213232a^{2} - 594356740365298269823691038016a - 244208781450508856255921479248 )x^{22} + (591529903743791828647712993856a^{2} + 106272937676640740246273196976a - 55286248798636257116770589056 )x^{21} + (-419273334955496776987713033240a^{2} - 530343500104526874338025230352a + 394966959723666410820423620424 )x^{20} + (-312517933712862578644859534016a^{2} - 116473518688794006397979669280a - 329731151914731020387013442752 )x^{19} + (134876141739551079553804131808a^{2} - 313284860392810868936990566616a + 534032955430406271944705324344 )x^{18} + (-601654466444903720334971760496a^{2} + 143840445681749171459031531520a - 422051980905787779570725288800 )x^{17} + (-541682129319418732945970512480a^{2} - 589619955932601174002698789912a + 457583333166030513409747659728 )x^{16} + (-40503688996559907231949386144a^{2} + 369061559190019215927446236544a - 341172031462725704555349709920 )x^{15} + (598536702943754696950018006736a^{2} - 346857775857320560901386455888a + 150992554309887097907235244944 )x^{14} + (434909397441737447865924790112a^{2} + 556297497842742899506548069408a + 414772778464255146840125461584 )x^{13} + (-379276053608771336969174867216a^{2} + 234767025909796007221625919488a + 440306756935907170927903926960 )x^{12} + (272486581340210488164413808128a^{2} + 230112871389889235546007900864a - 623358271211725145745608033760 )x^{11} + (-98851025003794955366974506048a^{2} + 261481105638579449630467705600a - 201379849965610728828332434848 )x^{10} + (-516304122692034697218674877264a^{2} - 45372330747815865936854539216a - 541660540782814065625804818400 )x^{9} + (21008159677761928597738050960a^{2} - 544320530473977385994479021296a + 105594613852676389373775372992 )x^{8} + (552416755400688256497313697216a^{2} + 454758406083956279209723809824a - 387771066869469494259744097216 )x^{7} + (411724436936586834529621617520a^{2} + 322183909491833519424403220224a - 467012409251895441452937840048 )x^{6} + (-573976939051963161431054229664a^{2} + 195851251329963441510065455392a + 400283384665803875862022018752 )x^{5} + (40796512735987287345886987312a^{2} + 569837826601228518339599426448a + 83498676196913933996626522720 )x^{4} + (-207950818908643211991688599104a^{2} - 345786208908256750314352255296a + 338888052347633444573334461184 )x^{3} + (155809310693730820278713539024a^{2} + 542230555410252805127424783632a + 585271857170029447355436747552 )x^{2} + (-478662070023352452944663998304a^{2} - 440275875557600288610521836096a - 351474710188977318065640091200 )x - 93089628978014450822162679444a^{2} - 246282234191104454944898636720a - 83501043806981687197203833668 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary