← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.425286_703596_835882.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((256767069830899570374346007372a^{2} - 308943092743329530771001879094a - 177987517522113529846445315792)\mu_3 + (293134597362896658371337784508a^{2} + 209735127530002041452457254880a - 94588047689218912927564786164))b + ((-315042404666036928914990207383a^{2} + 302581699276910205085119910215a + 155435422830122487205592545794)\mu_3 - 245196286129436429810355044302a^{2} - 242951636990893525018207000233a + 6875061608247330976398566091))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + (2a - 1)\mu_3 + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} + (4a^{2} + 4a + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b^{2} + (3\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2)))c + (3\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (-2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 1))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2)))c + (2a + 2)b + 4\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b)\cdot c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 + (4a + 4)))c + 2\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2))c + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + (-2a + 2)\mu_3 + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b + 4\mu_3)c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (323904916216168633756514864688a^{2} - 133864659300902574172976954096a - 58469561039544724505388705200 )x^{47} + (-285503306165643552127167179944a^{2} + 154253125162088487069126739328a - 233646362251386675552227715736 )x^{46} + (105077945427110302597782014816a^{2} + 479363425703220205048546854344a - 430784305821672981803356030816 )x^{45} + (-560434399889742855540696656992a^{2} + 372570372180910875964508413796a - 424874370023001513838096328540 )x^{44} + (564374366733048340190308768000a^{2} + 178101956904563294676700874640a - 138795061675617918184353272656 )x^{43} + (558237587514813469072562899592a^{2} - 553094950484218034300487180248a - 295003956084155056746186981092 )x^{42} + (-143560594549755008138403813336a^{2} - 263739951654195943978819572544a + 280779386042121199496818459272 )x^{41} + (-584291866900275326314059419316a^{2} - 529140292697260099754871618924a - 407777766722302663625725819476 )x^{40} + (-487244919289503070501292196672a^{2} + 417825588367413150711144528720a + 68676862008715667777055481472 )x^{39} + (-40476047576140474141674425720a^{2} - 149380292600324506993801815600a + 365171449122238864882784744720 )x^{38} + (-32476843453098902045637518616a^{2} - 464367151445344566957848172296a + 114241483377423273946744822320 )x^{37} + (138648740697838214057654537912a^{2} - 125569773024826223161439986544a - 490394164617511140718104471992 )x^{36} + (318149614294913139747223167440a^{2} - 442757879703008635506147817872a + 35855947377750763730004056576 )x^{35} + (165010779439580505945397197696a^{2} + 403840890008107257275716513776a + 107013434508792722294506511328 )x^{34} + (-590187351174470882211055726464a^{2} + 614810254203146385107248616984a - 424933928142401088154099698208 )x^{33} + (-487694635304822744939897377344a^{2} + 405154184962316849119259562664a - 65135148340969387254049016344 )x^{32} + (-51194428233041525785525597168a^{2} + 244318662248399110344076184592a + 329903888525863360502658883184 )x^{31} + (-60570459440405519092162549136a^{2} + 489189956363670747627310758304a - 199981302540562773157938973832 )x^{30} + (-633476484843508112225360834464a^{2} + 180914130394164601665627138544a + 81682352396977998231011758368 )x^{29} + (-183925701517413436547983968544a^{2} + 96781984091027594295850065160a - 14425850578933115607695524368 )x^{28} + (170790579571252374994869291360a^{2} + 475299833145505466750293462048a - 127600869652649411301462880288 )x^{27} + (-361285544603824877364109067872a^{2} + 603288401064994149509933572616a + 133406603246537360388889167632 )x^{26} + (265471025155079453735018043072a^{2} + 55287577559261721495101890304a - 313492658243745154599265192000 )x^{25} + (-521367526361522972498782753716a^{2} + 105464732777041654874219621524a - 520094856384960827126029942724 )x^{24} + (-536816448918121219099599738880a^{2} + 147068934761284946857793157792a + 172598074199852163589704933696 )x^{23} + (586522247194193103612341744016a^{2} - 381109858701354084986823225152a + 628680740156789264686436318352 )x^{22} + (-352846627021270271742297927936a^{2} + 335356711729568108468353332240a - 329092671829147324882330513344 )x^{21} + (536174571280164590178785024280a^{2} - 379224955870282665960051506656a + 313770740433412672060704614024 )x^{20} + (439265210501798565212421073856a^{2} + 569529062963011121012308740608a + 75114502361269725718596440768 )x^{19} + (423307960658634413828270173504a^{2} + 293297967780319742867979322856a + 500901942017414585417010686072 )x^{18} + (545261904070804707172244969136a^{2} - 319206288601193588349128419616a - 533498740600696309315429769696 )x^{17} + (494978388361617775801893887280a^{2} + 536310973338540747602374684952a + 88596882613357802065068295520 )x^{16} + (182085100899425058373824293984a^{2} + 58191340638558312747340155136a + 451813819605977385823330521888 )x^{15} + (-614343946818095724345315374608a^{2} + 529109928084217239008872780336a + 525395022055020665126766828336 )x^{14} + (93599428680827571761219272416a^{2} + 332464949905867731471744513504a + 265689253746944665836615804240 )x^{13} + (-235784767158341731901866633136a^{2} - 317556175173978555967980974128a + 177688016133258090247688561520 )x^{12} + (281468640959757654317956977024a^{2} - 4010835375096167459217130496a + 4984284743247931144845203040 )x^{11} + (-593552454787519583332932546272a^{2} + 362067844367432266420699287904a - 242968316326037998878969826880 )x^{10} + (-630163387337439264427267323248a^{2} - 619488960047747574676607352176a + 273635090075430693869547460544 )x^{9} + (-269443163794665727338968020272a^{2} - 376236312794111428247345403488a + 262052461012924523346088319632 )x^{8} + (-242709087901185270889709302656a^{2} - 542381905514973478071577401056a + 442071462968754886888311058496 )x^{7} + (-135678840644222833869775207792a^{2} - 10648573615390783113739458688a + 534783336182116014042393210768 )x^{6} + (313114096668889572279202923360a^{2} - 20277835784325131891218760416a - 496132035237979523150821515840 )x^{5} + (467176221094511311555773352016a^{2} - 138918191238851882613408588720a + 464824428338616115798217843552 )x^{4} + (-79292403267472375294298943872a^{2} + 451874473266476866774577586624a + 90268987483197708675049103488 )x^{3} + (-208933642503036254527836187120a^{2} - 592823508203309479772639097232a + 118913942049327831053331307584 )x^{2} + (263744763529978147592862804032a^{2} + 137359888256026431692803418944a + 386740423917628329740324041920 )x - 365462163225157012648633527028a^{2} + 522347022451250353616367606688a + 158890397325133897320912894332 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary