← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.390252_730642_971390.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((166744124987873700227689868272a^{2} - 304640071440848415531986872618a - 38360590072423915040516864586)\mu_3 - 203439043687094099169917160955a^{2} + 265438422059373184255717895277a + 33478591004603411107643385945)b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + ((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 1)\mu_3 + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (244348311566750888031188320072a^{2} - 468862260844172465219549710960a - 420010753142027133215925344072 )x^{47} + (21927407549541066876631230892a^{2} + 397536457810401096052305298028a + 532700501381499277401105258552 )x^{46} + (218847292937757316099078144184a^{2} - 417683386203153857161813243672a + 234709318368814022625922210888 )x^{45} + (300300896484106529991516590752a^{2} - 100908116165839172511095323580a - 434454692479411226731653485064 )x^{44} + (357736528385787617952520763952a^{2} + 236682104560860882825060706256a - 67326776411642978047619300704 )x^{43} + (-74744672946738108182291018488a^{2} - 212089904114521371277317487908a - 185513624540837693815909963744 )x^{42} + (519510933075583848979150270776a^{2} + 441191886820293075849729762488a - 53894180864034972965259020064 )x^{41} + (192707885500355407827240732064a^{2} - 35363216997760092150473080020a - 399200930284632873212135506444 )x^{40} + (343599481176290212231985863696a^{2} + 224198764801541801827442332224a - 414355814626272030588109651840 )x^{39} + (-562048263504903347768809325144a^{2} - 568835322017600222484092295904a - 185485349510410533458741231800 )x^{38} + (-509714745903512087073544199824a^{2} + 273362723709522414597212236144a + 495336812400543712338224191752 )x^{37} + (422250215783574895782461444584a^{2} - 403525957091672191886293059180a + 490666234590331871240761887336 )x^{36} + (108338945850580289489809234016a^{2} - 566500065989758765121911293984a - 535537092695125634483530258032 )x^{35} + (22366375397801298141696200168a^{2} + 286839076697494212565918920148a + 436864434891055688987530184568 )x^{34} + (395458631309730277105226725432a^{2} + 525789787070711334419365909968a + 110569966333398766650858707024 )x^{33} + (-486861929814210568887365477044a^{2} + 209999880505183177407114534294a + 577373794816904200059610827120 )x^{32} + (-244174244156278978107025633888a^{2} - 498951181752331669235239670160a - 180520089896430878241829361520 )x^{31} + (-283537994643448027473922577368a^{2} - 377202855753133765136639927024a - 252183809542199240139685979336 )x^{30} + (-519664032589032863973725545056a^{2} + 618600761425269695412794201048a - 529605767210347642566625452016 )x^{29} + (-576337644196837873700872525796a^{2} - 598292979334936184829837344684a - 554674670245777396074421629696 )x^{28} + (-520228241354775686489110165152a^{2} + 489309435759452945659768024160a - 349325548667086182122183077360 )x^{27} + (-114153866845431432202272102072a^{2} + 183899584007591451269425185312a + 533703017262956867648650472096 )x^{26} + (-544948063024786559579471944688a^{2} - 491483388022399426619918556976a + 200713141589619456596648580432 )x^{25} + (-475827294635092663831694103488a^{2} - 442030727923699667145018339908a + 559442678043369743759441845844 )x^{24} + (-407287188572149870752988589296a^{2} - 46168397819688654458584380752a + 520984744423733024174494685760 )x^{23} + (231045034611227148091663779064a^{2} - 264768706157852719642299442120a + 362233557392699673500129465408 )x^{22} + (181596284084941438536640807616a^{2} + 578698901016572052565180565824a - 264613193388899602107706519600 )x^{21} + (98867226781687376349353529520a^{2} + 457896598725349421712063419560a - 609825745772115253346210533624 )x^{20} + (609143408116195538424241606976a^{2} - 68638190348307718812109393152a - 412190582217388880985804116000 )x^{19} + (-506474336860367718080328976024a^{2} + 272828074912353860854943714608a - 593191796488785728699345117064 )x^{18} + (371249854623488747152092742592a^{2} + 414915104260424400708352241280a + 118711804634157697202096024128 )x^{17} + (331208276200442553859108344880a^{2} + 384019946049921477764695843820a - 123493026115514005189800404256 )x^{16} + (-225861861393903940016284096800a^{2} + 196297562529244410737831745376a + 374519022804806554752600306304 )x^{15} + (22120119469621242616183999656a^{2} + 567399346119417197983335917064a + 271343112102377069803679342440 )x^{14} + (315667951510414751149663280528a^{2} + 30041360920904196333967185248a + 220367267671496821870572231168 )x^{13} + (-539343518655975020290855991776a^{2} + 607802403877327173951015409312a - 239434018306551061646814084944 )x^{12} + (168011972161686744271144828256a^{2} + 534843340428571176476108092544a + 196996656581414479445206331552 )x^{11} + (-434289509467516647383195990848a^{2} + 28777308181356734110984556616a - 115205528401052342972983269952 )x^{10} + (168722349717052477540274919120a^{2} - 116761630224339475068535339680a - 343219819218916940070553524320 )x^{9} + (384679524912625947476186843928a^{2} - 263412477405706692642306269156a + 446816668850091399380651492480 )x^{8} + (-543587655903495430731087384160a^{2} + 100722587034541009736736713952a + 395786014457635724858972057856 )x^{7} + (358219959455503176015517516816a^{2} - 8796316201445543185726582176a + 550984725549442945126570808992 )x^{6} + (-457760087799757533375108022400a^{2} + 11676226137348108576581083152a - 168893019499038488481591223696 )x^{5} + (347989543304371677354777732728a^{2} + 91537969374393495449139774472a + 405731815682190825766109014576 )x^{4} + (202231699279037394984392428928a^{2} + 558404870416808392560181862208a - 206706643570435312094116297888 )x^{3} + (-212522432219653292699846878608a^{2} + 165830833335927741841548682528a + 179763605615982527303317832512 )x^{2} + (208789804200041777920820663904a^{2} - 65366656859385889711058229728a - 602372014578060752303184883680 )x + 111808444044563579430646186352a^{2} + 254578554393160445793711177816a - 606879188391563700952795452876 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary