← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.390252_730642_971390.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((166744124987873700227689868272a^{2} - 304640071440848415531986872618a - 38360590072423915040516864586)\mu_3 - 203439043687094099169917160955a^{2} + 265438422059373184255717895277a + 33478591004603411107643385945)b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + ((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 1)\mu_3 + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-256104820370090079359181523712a^{2} + 45877087200696533168187006536a + 310871234624436044848498757792 )x^{47} + (389926290673935371114173186604a^{2} - 71708387425839489835498811220a - 198878581024156269469393862684 )x^{46} + (584658775626157275523370039296a^{2} - 381139145285138578375762139712a - 383634008401848626668641698008 )x^{45} + (-276255374413971977989577295520a^{2} - 62828826126961753580982049984a - 185879044212820174551103373728 )x^{44} + (236098226185802591650077818240a^{2} + 471302733824657307678966764632a + 496760812021335863766797823736 )x^{43} + (233525125071503753674882192332a^{2} - 584755322900221815184231960532a + 50042188716325484742260899500 )x^{42} + (-343291643732349133110308550032a^{2} - 482877370484538141313449465192a + 133738897302032063656925730528 )x^{41} + (593863041237155320846136772560a^{2} - 93617265134947946905288184196a + 514362929179918298070766412508 )x^{40} + (-575985305817939528609091299280a^{2} + 395728841416485612604780584688a - 403160311579446761017109984688 )x^{39} + (-48442070751284050562426450772a^{2} - 490086583037415044550040782280a + 155270724585861711242105881396 )x^{38} + (433316753154732893205527793080a^{2} + 95667238191020798294609214968a + 536487602661067171011698556984 )x^{37} + (-13008878719008253620379036916a^{2} - 380628899753450995648307080820a - 442531557217487719445237269816 )x^{36} + (204741809569688771104876377936a^{2} - 374756725672365318176510609776a + 475150897527812034570026779104 )x^{35} + (221152842508680751457555371776a^{2} + 553619549350787704495230917844a - 136118709585249686899830087568 )x^{34} + (-76737844695676230255433910576a^{2} + 328094581793272663372915870088a + 316938582054255408895363408792 )x^{33} + (294689566223900856996524507226a^{2} - 2628485579587511301147202774a - 251281470416698017868512974168 )x^{32} + (334420616058654063775691690544a^{2} + 548664043974999342950991726384a + 173202183919615378893164153984 )x^{31} + (318385955675186385454307197904a^{2} - 547553418779895944284459871304a - 471085069540335275456571539136 )x^{30} + (298448593217967247597459448856a^{2} - 549409269076002312205748403064a + 299792490353407349253380280448 )x^{29} + (-574200332909288041878179506324a^{2} - 554385858187981383125441986264a + 493002296997540431122171411004 )x^{28} + (-499237279961746081754751657264a^{2} - 552360364735001940134247007264a - 499080564622347240720588919440 )x^{27} + (621733607326261520889452397104a^{2} - 99543257266702769982645214672a + 576724085331242017438328334664 )x^{26} + (373785339155557851341993981448a^{2} - 378024634458461226944451319312a - 152957842725573832934332671864 )x^{25} + (439759450230543209277071110104a^{2} - 473931462882374081434398514196a - 249395168165359131387334196864 )x^{24} + (392306461322425238767757823200a^{2} - 235619019458400209618307752768a - 115574430464475659639650057376 )x^{23} + (-528434190176493532326215236600a^{2} - 505706148551678840360399809248a + 218691225204767137304378153192 )x^{22} + (228572899475550237392007055520a^{2} - 138519145892829929092807973600a + 473820099647900314215373109376 )x^{21} + (311102565768396777396247898544a^{2} + 457397675513153885711472479632a + 36804039759526241952149021976 )x^{20} + (-332122803845986015739020549648a^{2} - 2276098246746731636874850192a - 582588160787942060189300640608 )x^{19} + (321625140422339857301980906360a^{2} - 69921362258763332765146970568a + 352336402447078848674022016472 )x^{18} + (-325561892756674884125286320752a^{2} - 79552243921034829180912759440a + 615489586980511787821530076160 )x^{17} + (-375384083252968091311439209520a^{2} + 210202745557407625427054007816a + 370595358638844848708143849244 )x^{16} + (1018916782827049155402617216a^{2} + 137568719181162553505818726432a - 568918499807713025648624176736 )x^{15} + (-289414882229397539024843952192a^{2} + 319716249638324057357216481376a + 436975032175483170201853440272 )x^{14} + (517278478371910484623601732080a^{2} + 335323721099716567292790494176a + 427584300767975059721108281776 )x^{13} + (-298118353624811961718706728896a^{2} - 59452947612356112246619556456a - 301156790774100112155027885856 )x^{12} + (332319774171639332901777222592a^{2} - 84863636242340288183570074976a - 229142827426332002937311887808 )x^{11} + (-519495834198496452158024942968a^{2} + 129490119855114101122021604912a - 312901956808055839502189749584 )x^{10} + (-262195618456955450575981489088a^{2} - 570607045508483989134991510992a - 118252779340069715124353566992 )x^{9} + (-406570288458400702575147534124a^{2} - 510801924581896769882383978604a + 93057818359508101212780293372 )x^{8} + (-588481364936124841316530788128a^{2} + 506756404002508488878815474464a + 450296051349692076949452972704 )x^{7} + (-570804806977380778216577436096a^{2} + 50225299575221250452319130672a - 388766450848621400069873200944 )x^{6} + (123615221918746599665730911168a^{2} - 165431517747968182518311589056a + 418232552311022040670569861536 )x^{5} + (306032349398958777483671546288a^{2} - 99744529765454717911215507664a + 478574490519506330261968273624 )x^{4} + (-573747496299821850904561371232a^{2} - 272825374335048550597090186848a + 445471632653007909222611145440 )x^{3} + (-361171636264493211851282881840a^{2} - 605963352612721174561217716704a + 550219774963666993326507738304 )x^{2} + (579818217732294156312579886880a^{2} + 27423312584573256622473574720a - 214951402498223178287827745456 )x + 135865484487344657498094521396a^{2} + 329150307669685548038708484304a - 200619797161271623648535185008 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary