← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.390252_730642_971390.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((166744124987873700227689868272a^{2} - 304640071440848415531986872618a - 38360590072423915040516864586)\mu_3 - 203439043687094099169917160955a^{2} + 265438422059373184255717895277a + 33478591004603411107643385945)b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + ((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 1)\mu_3 + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (244348311566750888031188320072a^{2} - 468862260844172465219549710960a - 420010753142027133215925344072 )x^{47} + (109842155248058714141216294812a^{2} + 230341089623176959890758830444a - 356104572525627586432748678800 )x^{46} + (-294053581873879430049708452072a^{2} - 504258666161368779610624056632a - 603196351444814144325515987944 )x^{45} + (-51867015122496615119051297384a^{2} - 230490768717981495767426585140a - 198067934768589518954637524968 )x^{44} + (150355287458782172622616766432a^{2} + 377635520707456190333820166672a + 184667238031208403149014733760 )x^{43} + (-92033191537115732418617154424a^{2} + 170391108741034459596128880988a - 136832768838024875114823709944 )x^{42} + (-123017172331194335792065050896a^{2} + 513491630396310233783203004968a + 360349270795603366230001635248 )x^{41} + (-281065539946004583429013939640a^{2} - 408776226666706120876140171460a + 355810757302707196348481584508 )x^{40} + (-595289128222292728004268156272a^{2} - 226550597082347018004060867040a - 238140231973165499544280901088 )x^{39} + (-6367696432357859929510460664a^{2} + 485687137832976485560531835920a - 43151088519180634485387508272 )x^{38} + (224900580000249532799473273520a^{2} - 280237418654462676778969411536a - 243203346949208292719215863880 )x^{37} + (-456504657672549011811990484560a^{2} - 623164859012669010571809389828a - 590267903001762445523409880704 )x^{36} + (-446785080060952355258651303808a^{2} + 336898985617228060440399455008a + 267753460118623050137859701648 )x^{35} + (-459001314589134360056567934880a^{2} + 583302026072909432186246841828a + 310404831429148665515865546952 )x^{34} + (-136897301314785638898363197448a^{2} + 579684068093109993074968859008a + 381487657006091489752581887312 )x^{33} + (542005504618413009105179436652a^{2} + 8449616931634600326066077698a - 551019817125128718886746664244 )x^{32} + (-526315233845211087184721371776a^{2} + 387243590526203410854413891824a + 462167477747033057399853361424 )x^{31} + (-552489880156095396338324941464a^{2} + 195525681906205532665128899328a + 317500889170437536293887359448 )x^{30} + (490081327361587777471878507712a^{2} - 331740561090486019879883883240a + 184453669177668050934127502192 )x^{29} + (-552298481399032370990726536428a^{2} - 111938348505179614920515850516a - 281790554845873908439859780624 )x^{28} + (-291901110478582888572168062720a^{2} - 536951610250874476057694600640a - 596503370489867195951914035984 )x^{27} + (-302661044104123309259969139712a^{2} + 447597369469652940344559341312a + 218821647001152743861532050840 )x^{26} + (519172103032964745440162562256a^{2} + 284745146642585791593161040704a - 26226075752683971007011270784 )x^{25} + (-469426073533462373013520050920a^{2} - 275670079204728726433515920508a + 528315034998027495355602837260 )x^{24} + (444473136648199558831820312080a^{2} - 171022461741586946218317340784a + 83077966275241891420629403904 )x^{23} + (-123124443308859412993128736168a^{2} + 433218567826847154976483515128a + 263681309759193678794937527136 )x^{22} + (-589415303765910447652298922016a^{2} + 514882047133020450440330407584a - 527908822992636551828094173552 )x^{21} + (499964769573186981625372582448a^{2} + 500473998274386848266685299016a + 356579177276107324203967073512 )x^{20} + (65953933471340505790631129632a^{2} + 615358460898953249648111230304a + 599104092700053262917818043744 )x^{19} + (-28076557742458623595973728216a^{2} + 529202449249005205184752723408a - 161626461040858921270677435144 )x^{18} + (-97506492899235635423495683440a^{2} + 587726144515302674586996066160a + 61334481386065931084139169536 )x^{17} + (406485264545234438341078024432a^{2} + 245266761128126010830567973868a - 547759601939746912194175311168 )x^{16} + (-237383160554367173274463558880a^{2} + 248067177627308209808696007968a - 16083644094537432272626826560 )x^{15} + (38690836421037337922355804840a^{2} - 386197859991963004922636396760a - 192174570165939304104192392504 )x^{14} + (534864165996675472512832266960a^{2} + 327096446953642979409330792800a + 62293043765287398507815981344 )x^{13} + (-21729317505026084263167630016a^{2} - 376189670118253290159785237216a + 593429895755762715548573086608 )x^{12} + (147495322872935299295067845152a^{2} + 185256234788411014773752858880a - 511059384121742549551851897760 )x^{11} + (522366167694952394671419050640a^{2} - 248900903722481916222417244648a + 373992589083414402375390773488 )x^{10} + (312270552497278820014728909712a^{2} + 549805075865596615484014915264a - 135103230043419570314931738304 )x^{9} + (-276480139220291074311414488184a^{2} + 503226553104645351438058235324a + 169934439347072353545419118944 )x^{8} + (-358256012569891114698650972512a^{2} - 558831604716182706945518269664a + 347820116854082052073122114240 )x^{7} + (571094537592631381364229665136a^{2} + 191350199973352235513208674240a + 619810587087381179885406741664 )x^{6} + (254019680782688754511616422720a^{2} - 618023250145503551693072881168a - 71848259861193648052324300144 )x^{5} + (508050569278358986517677262232a^{2} - 3067663416483134769733489832a - 363015249969297571531799426208 )x^{4} + (499561869519281262887820955712a^{2} - 215340796463160169176495852096a - 423355716366520837798031204576 )x^{3} + (57798855440821973007287666384a^{2} - 244009207764837530105128758048a - 135157120414824209003729597984 )x^{2} + (-87445866199060792511932188576a^{2} + 68737539835979307690674646144a + 629399512113996305595983736288 )x - 321863085016691885657893973872a^{2} - 4040871481564736215785274488a - 38069213715994850465051360140 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary