← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.390252_730642_971390.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((166744124987873700227689868272a^{2} - 304640071440848415531986872618a - 38360590072423915040516864586)\mu_3 - 203439043687094099169917160955a^{2} + 265438422059373184255717895277a + 33478591004603411107643385945)b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + ((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 1)\mu_3 + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-256104820370090079359181523712a^{2} + 45877087200696533168187006536a + 310871234624436044848498757792 )x^{47} + (322354726468681137246878844668a^{2} + 464681452776055201864793621796a + 334619072902980586255391807052 )x^{46} + (-633404604688474116355987057472a^{2} - 283025816489713701551945383536a - 511540223927701686604373608 )x^{45} + (-301777673211230551271702536616a^{2} - 373897803117078585442010074640a + 224393774471225767193798516536 )x^{44} + (113314563431580540908954413536a^{2} + 179186120430569220330725603688a + 443470846920457260780356813000 )x^{43} + (-99228054184831186010348105692a^{2} - 22298298100530670900539971900a - 178484453199600718929726621212 )x^{42} + (-619954803124199753767383717456a^{2} - 522731523449465461162259654512a + 283537118030557208735397641632 )x^{41} + (-257207950375308411131697919504a^{2} + 410119424929185391990368038740a + 349379880864173928323277324812 )x^{40} + (-108179852219372801865537134512a^{2} + 595740423445937550104748627312a + 451227467140391281606570567984 )x^{39} + (380484800935259086647437255356a^{2} - 361805353132812566608475642968a - 254769377410969534132619919708 )x^{38} + (-65961372786009762829719533176a^{2} - 161671586726545728046731993928a + 269102342392770114096966141912 )x^{37} + (158559759166300806384799363612a^{2} - 405063340848809224045318749892a - 554826975389752573304389610520 )x^{36} + (-253604967679806474571953038320a^{2} - 625899159787956428694634413744a + 75591042503760374207793404224 )x^{35} + (-353063741228280358113515223824a^{2} - 81567044984923790438220442492a - 27798258498047370016892543696 )x^{34} + (-529323442945849800011264073680a^{2} - 502900896700493494435446170408a - 461446817539730670462755718232 )x^{33} + (44723305621958637168567952646a^{2} + 262030077557032108066349120458a + 440139388176743119568266895700 )x^{32} + (-303717060197828044968613291856a^{2} + 294167227950580742659906312944a - 368090177435115420071669462144 )x^{31} + (-441547309586565721976964937552a^{2} - 14441173865483994478004909336a + 75806483817265767096902071456 )x^{30} + (-105983035629533460568778465928a^{2} + 447291177855590137733889853736a - 346011286746303481769766090176 )x^{29} + (-632610295747154477867206306668a^{2} + 483652384799255941219802168424a - 542008479425958763571438854604 )x^{28} + (-483301864094966459338619483344a^{2} + 64880087896383762798813830624a - 632305003080170216314087883280 )x^{27} + (567404140214182666312214082944a^{2} + 327084007188710201795908032016a - 263698582405837022075626387032 )x^{26} + (51642951745762207256630643864a^{2} + 546614312788163149536194122992a + 108648241770262672964062158632 )x^{25} + (8187441054692677687396187184a^{2} - 609113862909022006942634304412a - 435372895016917902081797496296 )x^{24} + (6359034392672394376691674688a^{2} - 288378625594791675825123165280a - 66567825919091682932714684384 )x^{23} + (-286983430250769022848009169816a^{2} - 540829628652312150863010758912a - 597324333056908915193324598216 )x^{22} + (-440460180517068275796380664192a^{2} + 445543790733577915335558430368a + 388800801822608784527632455712 )x^{21} + (106607978577939107050726504928a^{2} + 404003508894193608579513630768a - 632568416458028331479016486376 )x^{20} + (-89651330894386978287559603472a^{2} - 350047415778874182291039149424a - 69086681939359116368762944320 )x^{19} + (-207023235181338022754086123816a^{2} + 401206006108284901807278701128a - 323940914180628257852362153560 )x^{18} + (297946890674168249188440867280a^{2} + 47292652995249991656290697968a - 135341487961547360339882213568 )x^{17} + (134775641042661208071608314736a^{2} - 150185893297050538471150878360a - 242223603195446751652465571924 )x^{16} + (145259140806655765929851441920a^{2} - 252868163462056785533810373344a - 485514151657210524754688505824 )x^{15} + (74090608996293849381338760576a^{2} - 343207856795804112447579021216a - 124118785825316042838155827184 )x^{14} + (381057985429604149609839180560a^{2} + 202885380890231374672356268096a - 290196060199126582872550938288 )x^{13} + (-368111019610612786771654385248a^{2} + 232406139583483640109808322904a - 85118431505447514655035496736 )x^{12} + (-229347196483025461265294437440a^{2} - 68076474201022717388118914592a + 44322178979839722713258847936 )x^{11} + (-495664858762310856690585669704a^{2} - 394918277207392482536952479104a - 224187279009540781603736578704 )x^{10} + (261717764648850770098604992224a^{2} - 463189924783143609016820762608a - 25262514336211637863701614736 )x^{9} + (-16856225024652924768842348940a^{2} - 367056352497665844265084531804a + 91028537368358196157032859516 )x^{8} + (-56766869691486356758532397472a^{2} - 225800700246123642439493365792a - 619519097665526829894220504864 )x^{7} + (-433547336885957793464024323872a^{2} - 266925988915695150852057502096a + 179827722980161579794716714672 )x^{6} + (-293179196368987881216980741696a^{2} + 509982203904647870176818197248a + 456231801690278212723682421632 )x^{5} + (-170427004492750803949097577472a^{2} + 1590339573491025909684058256a - 471814624849531513393315847256 )x^{4} + (166277003687764787640872328672a^{2} - 130140509625645016257893629536a + 631525205295795652556708770208 )x^{3} + (-424331107379257558547405312352a^{2} + 325886029579079677147692076176a + 501827533791777655433767459824 )x^{2} + (-519014416943740695381216813824a^{2} - 187242492311240549755963103712a - 589224887849108569217495473360 )x - 537097366514276432927541414988a^{2} - 146964919809022480199971911504a - 496121035171104578814832128976 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary