← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.390252_730642_971390.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((166744124987873700227689868272a^{2} - 304640071440848415531986872618a - 38360590072423915040516864586)\mu_3 - 203439043687094099169917160955a^{2} + 265438422059373184255717895277a + 33478591004603411107643385945)b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + ((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 1)\mu_3 + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (244348311566750888031188320072a^{2} - 468862260844172465219549710960a - 420010753142027133215925344072 )x^{47} + (236736431950295877583158472076a^{2} - 626949547884378229993205181388a - 233393537495655391852488061728 )x^{46} + (-412411939699648833687520403816a^{2} - 358233792249572690103678903304a + 80653290384625837109397222328 )x^{45} + (-29239770980104053899964153368a^{2} - 586503847351365947862793884380a - 79562921329146713445406675344 )x^{44} + (610633146470221884511937776688a^{2} - 157357960960091386229437020704a + 230057343889588717147761269344 )x^{43} + (117813773654075422493071989056a^{2} + 69143424722367497050191383652a + 568704619026259633013031132224 )x^{42} + (-356653225633007167898665166952a^{2} - 44153686923387367252047459264a + 432348505058784043171982985984 )x^{41} + (591618460945054011138687638660a^{2} + 208785246831228451603783851572a + 134732627853369844615200964044 )x^{40} + (428619906057815564326551568368a^{2} - 268968899667319035567194809952a - 448676501913936558189527502240 )x^{39} + (-257275958856875935820419686384a^{2} - 449690706296374649808245647560a - 481297003813063209692690209440 )x^{38} + (-480536574491381015754902530640a^{2} - 56670493750149845896222001088a - 81276474227883998504551432168 )x^{37} + (252606891797413926293151255648a^{2} + 494129642177586243717406910260a - 522602994486832250886101728200 )x^{36} + (-485633751386565700045590168016a^{2} - 9757203654360242918359240256a + 294217889318003775092639854320 )x^{35} + (485519381788623669418131870384a^{2} - 151885573266481825046826564540a + 105122819693344795410395173160 )x^{34} + (-613964170524547788261507878344a^{2} - 101353307694092816320722474704a + 164115466495828897768922488128 )x^{33} + (590800758937734910192609080276a^{2} + 614569323116026523462343596354a + 452613759142280104383761278992 )x^{32} + (-265404681951524464982014569632a^{2} - 578658363694726264631266491600a + 200388481347702215196835169648 )x^{31} + (426901586527617855952545054152a^{2} - 426698127071935422001875506528a - 152134031136074095883015374504 )x^{30} + (-114915941763240595955226423776a^{2} - 465400597496771371215144669000a + 390973834518950926795829276464 )x^{29} + (317339160891853492393256001116a^{2} - 275467058213067423290075011052a - 597388528249859417713890406504 )x^{28} + (-62387701386319914516225212128a^{2} - 401064696532373825525383400672a + 618406932542328662149373020592 )x^{27} + (579291796920594767396454059520a^{2} - 149747936480195590570064718456a + 481297046345066006377200990904 )x^{26} + (-34402737531331956267642165664a^{2} - 95600192186475794108757651376a + 295676523449208677873231564496 )x^{25} + (419044856382655218782921402424a^{2} - 613342324632374585055750893428a + 259424198178856512770298895220 )x^{24} + (-621637359898375227388828226384a^{2} + 140702805864162305737933634736a + 35910434275711830648896637536 )x^{23} + (-219611779280940931981202299288a^{2} + 182527176620236453981711841096a + 139185507357884480634991378672 )x^{22} + (-352826131979484220324453349056a^{2} - 379145111959580048457860986944a - 598562478481775079165567489552 )x^{21} + (455009580219911221952578949992a^{2} - 171420470810039054525325340728a - 434238543749793852078160121152 )x^{20} + (-54350386731740570689990835584a^{2} + 238177281573076286331864135264a - 388275125135203730389257939744 )x^{19} + (143923734919778979534516498008a^{2} + 221532181784631637882573315824a - 619047025484390166894670002296 )x^{18} + (144809842759693580941886951680a^{2} + 330713695465210958326173174576a + 564686465035450017901966815728 )x^{17} + (-617001737595678870061149208808a^{2} + 476383075536433734519818950460a + 293937859701625537526314870848 )x^{16} + (-351663506402755988098055877344a^{2} - 112428841989978120257146230560a + 128965069713819499713450069888 )x^{15} + (160919506092262442335903920552a^{2} - 367910274507631280399902814904a - 256240769824929637669962039160 )x^{14} + (-105005179806610438504650855312a^{2} + 400568179778918102734991495808a + 569383779892265262447913925312 )x^{13} + (335634352262225550068243879264a^{2} + 248799674092220109254716388528a + 515524589926024589337837068544 )x^{12} + (182675801071205488987842406080a^{2} - 527672728742035837672022772960a + 602926470787768131528626286880 )x^{11} + (-84221179582381946068117123056a^{2} + 27823238524539721600786699320a + 588352397280978208780603554528 )x^{10} + (545440373213679818091684872784a^{2} - 78064498774414273090968755712a - 65920097587185948192378275392 )x^{9} + (-202681589965688415724609159160a^{2} + 143542445230644077906727266540a - 616413283480204243785885571072 )x^{8} + (364244971016828284798884097568a^{2} - 66519650021203769183127867488a + 549280839340608819172968759680 )x^{7} + (-209397695089414926221244841392a^{2} - 415560751986635428127134415488a - 78950490886004602967499749888 )x^{6} + (69364313183629911031525633728a^{2} + 74142659604677522255763675056a - 120827962814222536817180742032 )x^{5} + (-130137842395494253718107972760a^{2} - 85751118669862459487542167624a + 504545381303519937053278779392 )x^{4} + (-461869722156013620459572538496a^{2} - 316724930823497462999273518464a - 349575811650850774970825538144 )x^{3} + (572167566748881535122051873232a^{2} + 524778380439633344169192902624a - 438228572118536286417513334048 )x^{2} + (523450730441762467263248508064a^{2} - 611124543171453169174900662432a + 6429120676209644494441182016 )x - 74344370555134424103983284304a^{2} + 234968642160125511588088030024a + 259434775807076960658829757652 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary