← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.390252_730642_971390.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((166744124987873700227689868272a^{2} - 304640071440848415531986872618a - 38360590072423915040516864586)\mu_3 - 203439043687094099169917160955a^{2} + 265438422059373184255717895277a + 33478591004603411107643385945)b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + ((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 1)\mu_3 + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-256104820370090079359181523712a^{2} + 45877087200696533168187006536a + 310871234624436044848498757792 )x^{47} + (144668172814582015460963358308a^{2} - 286569917107059000832509494516a - 459538116591559028355172724500 )x^{46} + (-559598150844823993699199853584a^{2} + 280319910579785444837362445408a - 365983948641932339538003793032 )x^{45} + (-210895676042217746491556980280a^{2} + 380266881491701264319357679432a - 444052495311408601214882954816 )x^{44} + (-367884368575140245949077296032a^{2} - 467305942649361964909088499576a - 138070224305626568379052059752 )x^{43} + (-411999929662124513974703411292a^{2} + 107099498670416590846565063388a + 140829623093779316565124789972 )x^{42} + (-26036162818976215903563469616a^{2} - 466316509620341159064238236344a + 1312969763020093092976746968 )x^{41} + (-559007453625996436727197973048a^{2} + 591224294706611637071284986268a + 239015710472360576553961284792 )x^{40} + (402695015113903103446295689616a^{2} + 225111764986942666235452737904a + 77175676398424216109292485520 )x^{39} + (23361449993964271929112850876a^{2} + 492075548673057691898924273672a + 224548094742533098788663743620 )x^{38} + (487453499748301418157566920872a^{2} - 452282979650052179717466118824a + 474934561081512610464457923640 )x^{37} + (-363804251566991391383251708588a^{2} - 176110520713716730896529822428a + 35621618533942646398375780232 )x^{36} + (312958065572840754290651424272a^{2} - 440779730196080856018253348464a - 352816129761366589036714451040 )x^{35} + (-269311846101901574454719089752a^{2} - 362888995243841705400248623092a + 422710997373518161952432616768 )x^{34} + (391323944424045335495318686592a^{2} + 57211573481172257544654696760a + 240155880214409710698146929784 )x^{33} + (-279770758955595532929924595762a^{2} - 536474969044890257402470348850a + 514854910334149097200610169464 )x^{32} + (214716069299288586895310842480a^{2} - 302497519903489244744575160880a - 97019394443058035285935455168 )x^{31} + (310399630382239994921500792064a^{2} - 225382808208549724573782893528a - 289109851119619369475736945536 )x^{30} + (157662932995169237200609711128a^{2} + 594146221325055097089683344072a + 530350341789545398537187086912 )x^{29} + (295093735758313321108656524204a^{2} + 232844603020539249766908212712a - 237794283178224740987632197060 )x^{28} + (-427067076911131591375938401200a^{2} - 380436498280160083071165638144a + 399674149544996135736380216816 )x^{27} + (518313712156410236316163364192a^{2} + 180088529600638364743686669488a + 54171713752841193727474726488 )x^{26} + (607497786703555625669751359240a^{2} - 103018878637094058498778288832a - 549598447544680075757381008696 )x^{25} + (427067552410866125379563965160a^{2} - 376510009159594450486881126660a + 471796317337140132150672222376 )x^{24} + (-179445331819643730725848014336a^{2} - 596458068732617109837005411456a + 409334914580607770829853776352 )x^{23} + (460466718499140431202458145256a^{2} - 609523482357066839236656045808a - 382254991950167874367948112520 )x^{22} + (-398010958039887189310975997952a^{2} + 359662008691729086388517988768a - 509165766864150465288870738304 )x^{21} + (625210003604565845774323526840a^{2} - 524886860055656334833802218336a - 257803745432178766778884021728 )x^{20} + (424891247581046838831026546160a^{2} + 209369593642274278015830181584a - 539656002642667293203835198496 )x^{19} + (-330701208172228836444662718424a^{2} - 498931294572017768016051042680a + 507445333992074396157494636408 )x^{18} + (-366997807161893273239339322064a^{2} + 207199973298515029833586986352a - 198719415678521019639817949248 )x^{17} + (292071103890542559608226603536a^{2} - 99264902695103267109163996576a + 327580340501310514745881600540 )x^{16} + (-192521040854350515455667374336a^{2} + 630622142550168625087870113760a - 384825541087895570554866455584 )x^{15} + (599465104338527783704259671712a^{2} + 304172631086986880968781646016a + 453743577315624022732242596304 )x^{14} + (592012942928028948801840861328a^{2} + 441831570318783339151381731872a + 247090252952745473594710966672 )x^{13} + (340638249298253714412732886352a^{2} + 168440111057716911980189163880a - 401165125949894152166562867248 )x^{12} + (563626125609194292437573482656a^{2} + 324705003693419812614129264768a + 588672599469879463646609940672 )x^{11} + (-292553053270148460116933473336a^{2} - 252141827987043109585612625216a + 296912456772691866497022156256 )x^{10} + (266035189105193345424146732480a^{2} - 618998577263186079943566380848a - 361538595637544065638238688464 )x^{9} + (-1729651147852346276378135292a^{2} - 326615518721274934116428055068a + 391803876923055559918369886604 )x^{8} + (-192182608560774969208265263584a^{2} - 287465894561781249793538951712a + 163769398523533482370459219552 )x^{7} + (51389118313034693023225486400a^{2} - 151809805425340248685146016816a - 415563270423580580561213879952 )x^{6} + (-17858558046415121266970954208a^{2} - 69925005796450028767935346272a + 606301987228807278349858382976 )x^{5} + (492108271408017070396274815792a^{2} + 414591920457039301163803772624a + 518777925459733724185284245096 )x^{4} + (422424785512548996753675757024a^{2} + 276086585380993158365130076128a + 246249181341195439778426572896 )x^{3} + (-594532626543965065860529057568a^{2} - 217041819459690951732806554448a + 170434227868748323703000140544 )x^{2} + (239867739070394592475997521856a^{2} - 9067663125517367156608749760a - 135298195208429959397139727696 )x + 146593383354904142591086239780a^{2} - 569382225216774103745498095824a - 253121859584789356516937471824 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary