← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.390252_730642_971390.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((166744124987873700227689868272a^{2} - 304640071440848415531986872618a - 38360590072423915040516864586)\mu_3 - 203439043687094099169917160955a^{2} + 265438422059373184255717895277a + 33478591004603411107643385945)b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + ((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 1)\mu_3 + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (244348311566750888031188320072a^{2} - 468862260844172465219549710960a - 420010753142027133215925344072 )x^{47} + (-335521383438015097687178679300a^{2} + 123326986347882988636198294596a + 25333105739633661565380261896 )x^{46} + (217063930569079010761801420344a^{2} + 19022532906027678525809517944a - 116650931243173657982888644312 )x^{45} + (284610655757404323289864916480a^{2} - 386076597297096901584711800852a - 103966000984629996197973709792 )x^{44} + (269018532575372625846275903168a^{2} + 472665988355629517159286813312a - 451609698787228776013376231904 )x^{43} + (-156129003737882279915954057232a^{2} - 579998714999749506012484984412a + 20950705861259434553975313576 )x^{42} + (-270718981747900622123854248608a^{2} - 463126740731629468643709370304a + 170155496892035859828713300672 )x^{41} + (225955052322292050294789399460a^{2} + 366412208433508951839393318276a + 610685973453554945825934208884 )x^{40} + (-320699478254841839544656278800a^{2} - 626722989897677008237871774976a + 429949904244339879500907327424 )x^{39} + (473318562928284380746636938752a^{2} + 134088312091560119458513461608a + 567653849410546886393401158296 )x^{38} + (427652017595477880000038252560a^{2} + 409183047711894843911337460064a - 624204059583803379694613176920 )x^{37} + (-131782236767649226640475058456a^{2} - 502847682433981372960013208020a + 435368702938630333295473829280 )x^{36} + (-560207164162942025827779141200a^{2} - 214357136392984628423915674688a - 598473299274607607144661094576 )x^{35} + (-536338718281754263160618984792a^{2} + 288733822654607296705520655956a + 630863661171457652175445705944 )x^{34} + (554773813530494978425892349656a^{2} - 426994207553928739554136162592a + 619743757385284954182718920544 )x^{33} + (-198018428634423460669808389924a^{2} + 521368186649909602902957915646a + 214525928161043913796051508804 )x^{32} + (-622698028920564779223815907200a^{2} + 86697296309989426592572347952a - 363836273685108384160772114064 )x^{31} + (-59130244812706504728244176792a^{2} + 524490354670632371210190534800a + 544587601142223810934275449496 )x^{30} + (-593185360125193957855533376512a^{2} - 326317327463549528688704893448a - 436516401594655430828814151344 )x^{29} + (45102151765326857094365343732a^{2} - 87313842246018145605576692084a - 28680256084587942045626260392 )x^{28} + (-605064642433732445804456928832a^{2} + 70238924505045406838629534656a + 546934856478050908946028155792 )x^{27} + (447477776447293602673480729128a^{2} - 413395869450757396739835831640a + 246498731262579244052077407952 )x^{26} + (493126713602006863389035212832a^{2} + 34450432903001640078231354656a - 229506269804614358609267099360 )x^{25} + (-203562202333085509462039213200a^{2} + 443253074702359317315299369284a - 301163146105608512104174212148 )x^{24} + (467479833903760195412141679216a^{2} + 5579019297140413248128514384a + 492098331073498821685289595808 )x^{23} + (63949988970060452084936594984a^{2} + 180449799434725015748151427400a - 632999354681521835121222997392 )x^{22} + (-335867911217508607117314459680a^{2} + 11273437999474191137712390368a + 165696953704881221578416479600 )x^{21} + (-478317985541177556541371153560a^{2} - 433565587306357813821400261432a - 479132360654076953666813252032 )x^{20} + (533699138911993209589067817632a^{2} - 310306494810506175595692001664a + 307470127665004682456556759392 )x^{19} + (-130608973509751738863135731784a^{2} + 497874858873270972895949999120a + 154218554849146660702683278280 )x^{18} + (-83123244172752820945720057808a^{2} + 486855619163317891314423509824a + 414899719861435646486836741680 )x^{17} + (384597850866751916171171510648a^{2} - 351846528107785545304520122900a + 269448325719495900121073177472 )x^{16} + (-182867691463571965340451739552a^{2} - 388084264456201198665148047712a - 344684757288157710068592960832 )x^{15} + (-114677726493264647701916147032a^{2} + 176444224812987961636122289640a + 596026282891520557660867678824 )x^{14} + (321677155113954413637188617776a^{2} - 464430616685197561546941421568a + 72007717657709178308925323552 )x^{13} + (-138170896390831341513130337696a^{2} + 216711170406503459183935274160a - 247655145268236006701188970272 )x^{12} + (625385668945941088929628274688a^{2} + 237122302876808044287665937440a - 376372952940063467083645119008 )x^{11} + (216430479066066180590635632064a^{2} + 256539750355554616159222485032a - 230110758084595216840567440752 )x^{10} + (-188972723572817396988969665968a^{2} + 191741771901347646648602835232a + 9967062993449410885572404640 )x^{9} + (-313074659989977782127326429224a^{2} - 225886992264797177266592837012a + 401668401860697969119300016448 )x^{8} + (-297699136838510871643156004576a^{2} + 403233018800445407320135783776a - 413351191073646143624637856576 )x^{7} + (545862569850444536944628312944a^{2} + 138837555931714596492603749344a - 454935863090372135896894191296 )x^{6} + (-200583696166788784029551116224a^{2} + 606615191864508368563437535888a + 260058251437223621306378630288 )x^{5} + (-114647652173197176954730713944a^{2} + 101915951809344824591189244712a + 174261163756127075685247092688 )x^{4} + (177483679368861068490247951040a^{2} + 383167142280437428834572617728a - 336536873076474045387682995872 )x^{3} + (-561467924364044587472878219120a^{2} - 313035760934518189418487191136a - 265369617594360915629829340352 )x^{2} + (-85430510735205296738914293984a^{2} - 586816213278467094795302390464a + 359508446604343940059049792960 )x + 267089746508511776479810404560a^{2} - 279486208643606227088998824712a + 397061443081197036221106913780 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary