← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.390252_730642_971390.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((166744124987873700227689868272a^{2} - 304640071440848415531986872618a - 38360590072423915040516864586)\mu_3 - 203439043687094099169917160955a^{2} + 265438422059373184255717895277a + 33478591004603411107643385945)b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + ((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 1)\mu_3 + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-256104820370090079359181523712a^{2} + 45877087200696533168187006536a + 310871234624436044848498757792 )x^{47} + (-78336977099261609479063794972a^{2} - 202703697925212184505063726268a - 177273905391370000476862420060 )x^{46} + (207363599716990108220297648656a^{2} - 4321320300591356382917600656a - 630521675945298615208925486840 )x^{45} + (534953231832823244066668303760a^{2} - 69752221217095225684258972168a + 321991499689303259321851594104 )x^{44} + (557076196312611687958743365280a^{2} - 31367717290249115622155638632a + 29591587049157868921513862152 )x^{43} + (416488667725863404045894195388a^{2} + 369822408753216497142593154308a + 382300630754827178223635289020 )x^{42} + (618484035293583131509494890016a^{2} + 339670305098199131032673757552a - 444833115126807211182878972040 )x^{41} + (436055864929326408884946017992a^{2} + 225084099639547226291476297988a + 164340315307792635833877314160 )x^{40} + (-262377166748458978270978281616a^{2} + 621189770675011055851003973744a + 614431139754129511745430890672 )x^{39} + (-174335551661331534057327233972a^{2} - 249226454143942858280321650664a - 206820806081462895573778958060 )x^{38} + (-27499683824133408199740671432a^{2} - 110393925067048822211081893320a - 291361849346015864211179603656 )x^{37} + (-467196490203574278929890929564a^{2} - 375000396270118909304091092732a + 298532032635744646549029564392 )x^{36} + (8895930026386960783187231472a^{2} + 8983461368648245263261418608a - 284689701299015439324493523808 )x^{35} + (-273527720760146980913208892936a^{2} + 233381880139090922433749023116a - 622643360127480725964212014320 )x^{34} + (-187741885896693110084082654368a^{2} + 490780946676832388129563521608a + 15721462365131755460589265800 )x^{33} + (285823044937212972268601529522a^{2} + 470005600363385288803233303518a + 128560592486605327427626938260 )x^{32} + (-201059439920331431900729355792a^{2} - 419513698569491029672285559408a + 100873636741853594440435397824 )x^{31} + (142434291019176099904037671232a^{2} - 336580724909182805739222538024a - 257878409905747457738971240960 )x^{30} + (-497468248888268248755140394248a^{2} + 311525571741628248070476499432a + 319780992028258168112425356800 )x^{29} + (266750398284321132067420636068a^{2} - 220576014374568156674253690072a - 528970048133953912016375536748 )x^{28} + (455316332754500566106281783344a^{2} + 466344667895645239421529518976a + 616111200186962593107030859888 )x^{27} + (568284089381605544294689951248a^{2} - 528521066399510032233639945392a - 170661855866318899621730391496 )x^{26} + (467737160903349528111963209656a^{2} - 46203151707730179770595663840a + 3665516079675202257728447720 )x^{25} + (-94445671476239637522799323360a^{2} + 547442461103609826918408065988a + 509454396599231996278136275104 )x^{24} + (425440603889130671156285472736a^{2} + 337746000457513147324671110752a + 442053104596341460689130851680 )x^{23} + (328352229887724820174757820808a^{2} + 331420430888034582671667173264a + 178020887820152267546362548104 )x^{22} + (243201763999409008804345859616a^{2} + 147647852946154054552057643680a + 94725825291086841969952713504 )x^{21} + (-376558887810724934260508108952a^{2} + 258680691301461842901459216224a - 592208711690846592209087986784 )x^{20} + (351666550735531891603699405872a^{2} - 113344240701635381740178314000a + 394230754516480037162154539712 )x^{19} + (289630874713471465455581298440a^{2} - 419839762858627571243318463880a + 169988912778531964260299977640 )x^{18} + (292250090163195062627104650128a^{2} + 156385710411663893240584252240a + 172349315517867872487130176160 )x^{17} + (-448663397623146846268933696016a^{2} + 564539052384651255247781608672a + 144507795737984543968849373916 )x^{16} + (-439366982963123893478929724416a^{2} + 201716918373636306583938915680a + 14529950140960806198009078752 )x^{15} + (-596537110312777770149037248800a^{2} - 444595037791350321146098445632a + 441501193379919434357394443920 )x^{14} + (-462148432717107745288670570064a^{2} - 519759006870606917528953952832a - 457003926009068862155559009936 )x^{13} + (466595752431378614392657776a^{2} + 122688659044326722812062068040a - 376562787652313210483559681808 )x^{12} + (499326737489429273896299730976a^{2} - 203969555594866138640563739968a + 493576748101870035267971560000 )x^{11} + (-189667662376285750137245191784a^{2} - 224186381457014253160991363888a - 608061944226322569372358757216 )x^{10} + (-442732591630716763327658055328a^{2} - 481917250315914420764562275088a + 341765158707575124818655635248 )x^{9} + (-325206565401950994783551702236a^{2} + 596624538268602210344603640948a + 606490782589849192065342100236 )x^{8} + (199894623791865220326654939424a^{2} - 425062545399198953526937072096a - 581084937528274797471550028384 )x^{7} + (-346880604095436476778956111008a^{2} - 372785331489065470954008646128a + 183234848594702535672926515088 )x^{6} + (57981833853585208430145811296a^{2} - 272202792794301706928169613344a + 500218097193808102428163551520 )x^{5} + (-98855795335955196448345359392a^{2} - 148157579627670141247258126800a + 465112922894414211582452710232 )x^{4} + (253374581747908364813014200224a^{2} + 588212461383930913940636509920a + 258451366077833767793819451296 )x^{3} + (389741536916539989246855470000a^{2} + 545846311273303589565680950208a - 219089782348412204511193481488 )x^{2} + (-485527898614714465127469889504a^{2} + 203095101089830094641781984160a + 103185233696977238147753725456 )x - 443422332481615952862814596828a^{2} + 107049763514321499288280754800a + 499402068132890161692773340336 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary