← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.390252_730642_971390.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((166744124987873700227689868272a^{2} - 304640071440848415531986872618a - 38360590072423915040516864586)\mu_3 - 203439043687094099169917160955a^{2} + 265438422059373184255717895277a + 33478591004603411107643385945)b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + ((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 1)\mu_3 + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-256104820370090079359181523712a^{2} + 45877087200696533168187006536a + 310871234624436044848498757792 )x^{47} + (-182732979059724405406242881380a^{2} + 534939298674411945085632397420a + 458788504313356431709408977036 )x^{46} + (-306354436738007660610128939520a^{2} + 577346523280588784467555841920a + 263326554130875129833323808440 )x^{45} + (42581965148558819911096323112a^{2} - 390679394098100271617203436664a - 51277462980555417377749833184 )x^{44} + (479314915936936871174062810304a^{2} - 625739666741943636924180274168a - 333187002280720656203209037640 )x^{43} + (-49130051699494592466452009948a^{2} + 553857382011335065000177407604a + 1408397651022239148482279252 )x^{42} + (-455774235453857289346168359032a^{2} - 319601597374398431394108818216a + 8346932514927201731842985104 )x^{41} + (307617833615404010672172813508a^{2} - 620785319749778558307421512552a - 271133353849163824213630363760 )x^{40} + (254328521049266381022858845584a^{2} - 347011494998662054777244301936a + 477867234105561574732856863088 )x^{39} + (1909955017361582814763714972a^{2} - 366320587529752916362483487704a + 291323402251667086707390962932 )x^{38} + (224210039636564895390092578072a^{2} - 167613748030377783542922748824a + 50940512747714689689664820872 )x^{37} + (-595020288991183667993459096964a^{2} - 552078633296851032364303183980a + 260059200648506011509671272168 )x^{36} + (595760772846879304845812043856a^{2} + 239877314519553488999848504048a - 429401975666019624057906704032 )x^{35} + (-480198286754112627555320851792a^{2} - 266466246775785498153536103260a - 134540162180829075655057420184 )x^{34} + (-605799606798270276225185244272a^{2} - 618396225558683664607486785864a - 201803453599977209466758416504 )x^{33} + (-577266762129002529738999404870a^{2} - 336508343530925444097088802042a - 512621199973899655330042477296 )x^{32} + (-289450349761309049996816660336a^{2} + 202187888178893258844928447184a - 436515068639804833975944838720 )x^{31} + (-235092063725723985632995964864a^{2} + 267760272401798406727886396744a + 71233805289652709613309993824 )x^{30} + (628798351781325752381904420248a^{2} + 605648801035633849367805186376a + 127200447640417089098956953888 )x^{29} + (233194432314110923004966514940a^{2} - 129312106403291699598856663776a + 499800325386731652520355669020 )x^{28} + (-69287610838723265535289636112a^{2} - 332545250830217552649931140000a - 210877139764918433643079788944 )x^{27} + (-559850289820946890438093360752a^{2} - 498769807050928238203946137424a + 352494361599631422429003180760 )x^{26} + (558869649904262671654580235656a^{2} - 546895085657151439234592704672a + 111239234614469169466461872696 )x^{25} + (587360878704314663096804726616a^{2} + 292906688730413948971292190532a + 592736776323610675506641964888 )x^{24} + (-27897345823045136765177092224a^{2} + 408565351178137380254232357184a + 368074654094677355716433664128 )x^{23} + (484875772405072012934739605032a^{2} - 288961650336255437177156946400a + 244481118409224794751709337544 )x^{22} + (475230808376506923776060946624a^{2} - 422325949077776506596041135840a + 492200702899644428167768097856 )x^{21} + (163202358036816678282209758216a^{2} + 115505275571265392249922185160a + 318392516937765270395430798344 )x^{20} + (-365103394215154137839681037872a^{2} - 130390904239556394457113026928a - 544045562763472632310370289632 )x^{19} + (434699541798233544309146737256a^{2} - 398763770282239872155874984072a + 503522401033185357085511242312 )x^{18} + (-189386697400827849080990229040a^{2} - 297392951871710134616045205424a - 222407468562286276157718947968 )x^{17} + (-332837641562852785425158176296a^{2} - 50704457888301953638888199240a + 260256037467378070750226453556 )x^{16} + (475076513106081042947193814720a^{2} - 38791660295019523745074772704a - 357351852854579269809560416416 )x^{15} + (342065512921551097458019272256a^{2} + 272005358418624294695139698848a - 446976372948635288502457579792 )x^{14} + (281922399834741362355550139312a^{2} + 615175767559030228131244918080a - 123502548587284650763804147600 )x^{13} + (-144689740548393185355252691968a^{2} - 286626641898631778304298714824a - 207021450241853016197913660464 )x^{12} + (-231326251174138347904522596768a^{2} + 75459580795606283444811248864a - 85146800372065400099071796480 )x^{11} + (506506770110849567015605359160a^{2} - 179627852520442353301082223296a + 248929330615171750914143481472 )x^{10} + (-609175766952427889812857611584a^{2} + 137033911338544467201298679504a - 118515655944396772000500652176 )x^{9} + (-614672402395531333970345235484a^{2} + 572011010743585200250467272916a + 434818359305052133674657975372 )x^{8} + (600720823285003246122033695200a^{2} + 114798606550608262961082986272a - 57625756031425199385685441184 )x^{7} + (-130698314289451278708923199104a^{2} - 78699981848231546817203550448a + 608631420429188096468205319152 )x^{6} + (541919074890032215256987920928a^{2} + 623466209800696594519969319296a - 216612160493054087750122392928 )x^{5} + (-562464423189480410371108396240a^{2} + 466823785398843855469739722016a + 606691304781394523534764927032 )x^{4} + (-457061763817275405243031378080a^{2} - 305141355030045991182853759712a + 229734745405311019870559234272 )x^{3} + (-379547148083493051251105338176a^{2} - 53990487785136024209067751136a + 401644765461656094407128854000 )x^{2} + (-398272847786478129383148623072a^{2} - 122900103468256548426366478144a + 621956094380576854211476020240 )x - 484793959997455584800373807756a^{2} - 471184031522230298011767737616a + 407926500343966435516775455312 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary