← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.390252_730642_971390.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((166744124987873700227689868272a^{2} - 304640071440848415531986872618a - 38360590072423915040516864586)\mu_3 - 203439043687094099169917160955a^{2} + 265438422059373184255717895277a + 33478591004603411107643385945)b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + ((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 1)\mu_3 + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (244348311566750888031188320072a^{2} - 468862260844172465219549710960a - 420010753142027133215925344072 )x^{47} + (445746887908590893576858412068a^{2} - 297233304422135766952871969084a + 296385277759722178718336098648 )x^{46} + (-598919689238938516137829029464a^{2} + 193997214276496266541917816600a - 527751582029617428417496454744 )x^{45} + (-93795253408089499367592176912a^{2} - 29169129265130216213577861140a - 270390889598480384528654622992 )x^{44} + (583929647737893178575571855856a^{2} + 33488813079988238729381147904a - 24619356765597001845384413264 )x^{43} + (-600779898154521617189086215576a^{2} + 618749504783092241240820814172a + 567758077005773108563443758608 )x^{42} + (-122964879015357291426580473448a^{2} + 339555671131893173896422001760a + 328532267794846507616709517496 )x^{41} + (-169042182175577323161162835792a^{2} + 251650104014906498649814760100a + 432643474089677874090458302360 )x^{40} + (-214918812775045395795773316048a^{2} + 87298891514295326802618274400a - 242434887043061838970612159648 )x^{39} + (3190254582329212368124401744a^{2} - 429719976457477045098433041536a - 287611529120959632809069185112 )x^{38} + (557548518902064394703466834368a^{2} + 22221877357533621142257445408a - 289185667282674952424331353240 )x^{37} + (-420212736371335475826415758040a^{2} + 438162535900758356097917779884a - 349397743035753608971091686432 )x^{36} + (-219784100106190297662833811360a^{2} - 140538973633468446226645817440a - 240679873640449054199197024544 )x^{35} + (468661387179872509543050228904a^{2} - 105284649637389001776402355380a - 180170971229383142833267930984 )x^{34} + (133189844229704424336501390056a^{2} - 23225840090377176220063617904a + 70522599645501866869901940480 )x^{33} + (557192544045581094121153261488a^{2} + 553776246867628456853634754402a + 549766985286516382406358271292 )x^{32} + (-187195906027472448784836368960a^{2} - 50281035040559696570432220976a + 587758456239347065053951393680 )x^{31} + (-513708749077338494613884569640a^{2} - 556575930122617928881123655056a + 308980966810084936693422992008 )x^{30} + (166818943768477032860333630080a^{2} + 535554173480086654737115223768a - 573698795843939921902519245616 )x^{29} + (-100802923518946800130622738052a^{2} - 142055267345768764918003250084a - 474270889387120193075182528432 )x^{28} + (581578198385546407014317089024a^{2} + 161887022877676657291634055168a + 237066218658466658626552373008 )x^{27} + (538899337099060291898929169640a^{2} + 421798638020173902071129392112a - 608518457690427280661748899240 )x^{26} + (195313663526037062981532815072a^{2} + 83760517287616002145013826720a + 362635646892425032060462492880 )x^{25} + (-146070601516682896593765311256a^{2} + 22810600953286527994778940788a - 356989805062696350756448485364 )x^{24} + (630574042332765984426252384080a^{2} - 379502098684947447400414033648a + 223744635439126888610453347936 )x^{23} + (-586340563852844658735458107672a^{2} + 621650227478244039656689360392a - 174027034707768700326809816432 )x^{22} + (606932337282204287457995387776a^{2} - 460754196689280729791601340864a + 136646845717395907898304345424 )x^{21} + (575749591819470781748356715512a^{2} - 597013896744749568913077514128a + 518761722757504293522947219288 )x^{20} + (-13485700765433327952367848576a^{2} + 559503647693848407768819342080a + 287652096542942278893656412448 )x^{19} + (-379867921845494671065324153752a^{2} - 191895750653937179846369260608a + 500441054934412950688161153032 )x^{18} + (499363036269888955127782139536a^{2} - 449804513055074765201264087344a - 541072516148483654706460920304 )x^{17} + (5868724214406391652220269760a^{2} - 594984053366418116395971994404a + 289001970125437653904915625000 )x^{16} + (-226859937339134294516852305184a^{2} - 498297795592173290137086962848a + 405400045203234893686685786112 )x^{15} + (420170823469030152339951475272a^{2} + 459209389666663976281180710568a - 590926534628166509394609057656 )x^{14} + (111871116585009349247092086544a^{2} - 294236820703378627619292272992a - 534030420475256758746624242592 )x^{13} + (-591705967513494341799352613344a^{2} - 321222510914160140937242116032a - 611391935462631191683769165536 )x^{12} + (-194841011541762428623364203200a^{2} - 142963471278691793036729766592a - 415066155561364589199847095968 )x^{11} + (114971127551347086671025862352a^{2} - 439805457673486294271281095416a - 327747211671918422422498953488 )x^{10} + (-193452504328025046717722119568a^{2} - 457876645426694317612220454752a - 268373007993557079861830525312 )x^{9} + (-610923732461834179216586682568a^{2} - 543186145365295233923536092788a + 239435371831588329385660674960 )x^{8} + (-511023707222993018743374316064a^{2} + 559760517499544187810240147488a - 319840462563555828907450088512 )x^{7} + (-253686317610000300389270674864a^{2} + 497587185680379008687898671168a - 135036830553766242739482503136 )x^{6} + (234231192110363521554461297632a^{2} + 301283336133549620190344407856a - 349241644928592591025993688432 )x^{5} + (615416517573866245302093045592a^{2} - 620713047377525125908642831736a + 614774128029433826871597593424 )x^{4} + (213118999565470383788683391424a^{2} - 294847392692362167611776101760a + 363053685881299607743131152800 )x^{3} + (444579631113279316860229431600a^{2} + 559241744131588724705422107328a + 345493622050925359357614442944 )x^{2} + (541639503854609671689926695168a^{2} + 280277490971008444187616514656a + 125799030795430710327611997408 )x - 532986239131885509401692402400a^{2} - 238235648070826365560866791432a + 496182491902903269690289029940 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary