← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.390252_730642_971390.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((166744124987873700227689868272a^{2} - 304640071440848415531986872618a - 38360590072423915040516864586)\mu_3 - 203439043687094099169917160955a^{2} + 265438422059373184255717895277a + 33478591004603411107643385945)b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + ((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 1)\mu_3 + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-256104820370090079359181523712a^{2} + 45877087200696533168187006536a + 310871234624436044848498757792 )x^{47} + (222516889200400535234957397068a^{2} + 255599758743721111745451070180a + 484097583297447854385409865156 )x^{46} + (-542986687753760965092318203200a^{2} + 113683861514116708248220060368a - 118947899403171336359559571640 )x^{45} + (-117174501070638124199952172832a^{2} - 541835276776239371232958504632a - 349571901486016269726078107576 )x^{44} + (-136896322588842472886489196192a^{2} + 222870036919561882695234952088a - 468514252480589944065472549592 )x^{43} + (417100826206590466094370236572a^{2} - 557125917277945665925791649316a - 44328938209210824358954976676 )x^{42} + (-236349800292526082412611656424a^{2} + 360929220735054522757328741216a + 110551993247553230624268525632 )x^{41} + (-608733935501216215220256326276a^{2} + 621268426291971273725177287688a - 403235609468486019059649164696 )x^{40} + (-296529011147189788675039021840a^{2} - 372659327001710820572242938096a + 127269694681832266903613612112 )x^{39} + (587295716493310303440207736332a^{2} + 533015240166552520875706817400a - 633350373373664067776042955868 )x^{38} + (-18935133107392933873261784984a^{2} + 186172599021451819927212924392a - 180268607597041562493552489016 )x^{37} + (-334060793474205119686781758324a^{2} - 625874132598141612744987848668a - 457345355850296806577015704344 )x^{36} + (-7607030689686834633465126256a^{2} - 183968756225158733868769075888a - 30536274245715379294682429664 )x^{35} + (-62268852611117990012757896960a^{2} - 277902816509518895384081816108a + 288297761267133615230330151496 )x^{34} + (266310130929831267564923563504a^{2} - 283809669592900652276266472696a - 114259054171522905602833205480 )x^{33} + (190152855515028312177787245270a^{2} + 64101008440903671823754807534a + 158692757360289272103185780820 )x^{32} + (-181747790046274429676872574064a^{2} + 3978166036637387098232362512a + 505955308460796672746949818688 )x^{31} + (-179065070432859634396786951776a^{2} + 334814298862105240712653514392a - 66390560560472701202473074496 )x^{30} + (228487316101484696392528828792a^{2} - 416419112639312053095927936472a - 326998615343453574256171466976 )x^{29} + (290895555815874285045732009060a^{2} + 443098520901154511937034976432a - 17847379133104634648346299036 )x^{28} + (480072224124568850674035698768a^{2} + 138614367677827024048608379744a + 65597916749975367521030445168 )x^{27} + (190547148032042507799707345376a^{2} - 602136513298853111940811950352a - 147967130443486894464071934920 )x^{26} + (301912231695852489631816548888a^{2} + 481245616358432226309176764128a - 292788412847793086488179128456 )x^{25} + (566255638535572342207586062880a^{2} + 534385751794152005023693326044a - 350582027365606272590837009328 )x^{24} + (604329805838710506244746072032a^{2} + 332089918183176011180141527776a + 160997810997313964019952401856 )x^{23} + (-329972797367680428334523330328a^{2} + 368523867045715065499222563072a + 250125147331541411797790028408 )x^{22} + (-306746644560097735509153160032a^{2} - 290635984523433053453698962528a + 599360291879274964081351702240 )x^{21} + (489001962216931173589465227704a^{2} + 297548871818878996504461594984a - 248925900599978254466638094488 )x^{20} + (187690446827099202221445491472a^{2} - 80837325535565647229865126224a + 552738041010754324912413423616 )x^{19} + (-234350027072205112902050840184a^{2} - 131328529285793717476434410712a - 454045811778937817494764727944 )x^{18} + (-133504518949345184153131009840a^{2} - 422700120697340611262505247632a - 413054846940938856237476538240 )x^{17} + (524661951004243051167880004264a^{2} - 596593916389536759486709279672a + 550451065309745671511383687636 )x^{16} + (-74221051242712247704640507200a^{2} + 144766753241246391089496731936a + 480205831123638008511811885792 )x^{15} + (-552853798350282770721705393408a^{2} + 96386095590525891134061374176a - 453122475801672930140054207568 )x^{14} + (34401713814998326856948423632a^{2} - 230332253188536890076648214944a - 350203341363837889750504948144 )x^{13} + (-299016864922869756051264800032a^{2} + 528641654773212504686306151160a + 332850850598748761028141038288 )x^{12} + (13606111686371065106109783648a^{2} + 183663750118244201645136796704a - 283892042651875519484419387136 )x^{11} + (-601541290638236275828094285176a^{2} - 544822919777979955312513069872a + 420427809522508131423799385024 )x^{10} + (169334187400669959892639991584a^{2} + 566749890078672437962425194352a - 254600504311045637041388365648 )x^{9} + (-377248080399914086674649322972a^{2} + 264662909121525011782362957348a - 411630902586665562031666912980 )x^{8} + (15677080181458131213607911648a^{2} + 405707565755415244883296689248a + 174717596868583832618348518304 )x^{7} + (-584390832272376170979326738016a^{2} - 256052624694344052183380300592a - 293313902394888476779266385456 )x^{6} + (-206351894057863059936857986016a^{2} - 57936210439337742044940066560a - 295953873739927500830308210176 )x^{5} + (-415963763790473960149404695872a^{2} + 290445825939233850884395869536a + 568017999266825392310001723240 )x^{4} + (-534109518720860441662994211168a^{2} - 560477703487285128390934386144a - 523184849251678027190731538400 )x^{3} + (-154596634108653424741541558800a^{2} + 13259344214593890804468376272a - 558019046578454907719079781856 )x^{2} + (-330230270386400873297310567616a^{2} + 444515101136375541829969905440a + 342495787014320235685118334256 )x + 12594981729925168895959700180a^{2} - 291399014941657993344743513584a + 257997313326206733814916001392 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary