← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.390252_730642_971390.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((166744124987873700227689868272a^{2} - 304640071440848415531986872618a - 38360590072423915040516864586)\mu_3 - 203439043687094099169917160955a^{2} + 265438422059373184255717895277a + 33478591004603411107643385945)b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + ((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 1)\mu_3 + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (244348311566750888031188320072a^{2} - 468862260844172465219549710960a - 420010753142027133215925344072 )x^{47} + (286419787148475938770904783812a^{2} - 506464787616132882804156784844a + 399223295349784949109915717456 )x^{46} + (177110017316083220210792629352a^{2} - 174615127827227599707774442792a + 269187441962921033124414491448 )x^{45} + (173182489111362538495889075688a^{2} - 283872138778485023221084077660a - 97115816607779120873764558544 )x^{44} + (-409815170070825794467953892032a^{2} - 181006050556008907087370186368a + 258794285356079353751343112624 )x^{43} + (54379292416055929217086856120a^{2} - 125366739138607885679558582148a + 306310914034644784407127826952 )x^{42} + (-402157183245658551381494802400a^{2} - 177263187626492066332658693456a - 619667829122917385883875209480 )x^{41} + (-452116312938959650937181416008a^{2} + 69776614797675799441636599652a + 30621396754711638863200684680 )x^{40} + (204236075836000669789328931376a^{2} + 362179301517897265029956274624a + 426445721928894048522778717440 )x^{39} + (348495865012521518358351194736a^{2} - 578772510053306716307420110528a - 138779684219902757282021135376 )x^{38} + (460385098208049818259526474016a^{2} + 505968504732185831192660341664a + 116475030981226848975069730264 )x^{37} + (-76753780176817400209680262752a^{2} + 516665594057847001119164752644a + 372311343994473265188021104072 )x^{36} + (63982474459130708586231087328a^{2} + 626539032001600309564260471232a + 322041414311585690148223934816 )x^{35} + (54695584685434666082305701856a^{2} + 156917328018653177619073021292a + 387731428526804912548177563176 )x^{34} + (443795881801921337651196771784a^{2} - 296301283985482926572266531392a + 326468562862674560955571393120 )x^{33} + (220316283729512987123209139840a^{2} + 30256064623737189484887245198a + 279091870776501900755893797472 )x^{32} + (-452983160086275404297593581024a^{2} - 74300497436433846833667368624a - 175355401154520821256185373936 )x^{31} + (-167103078843654379250140711336a^{2} + 130557955660155051407859350304a - 562253759946434846484606881624 )x^{30} + (212229939333418577461310113632a^{2} + 86081242615814717034266071320a + 267687023358892836423469965872 )x^{29} + (186639636795606646480187952180a^{2} - 358155885496411941355818268252a - 58012642363965092248040489728 )x^{28} + (-133555176875717908706360848544a^{2} - 396367885411718817752876731040a + 253789398408229444573814925424 )x^{27} + (-82807271065114708766148884000a^{2} - 622075417368643308685651965376a - 145252005944852354212602466080 )x^{26} + (133787901571923720747517561408a^{2} + 224566377587328904357104119088a + 601109947455663256594401839008 )x^{25} + (628866454808048186877796130576a^{2} + 455366852060821775930162254780a + 291748331050513022205297450340 )x^{24} + (-481591530579560276289156767600a^{2} - 91952897989269171673639976784a - 19905702160638207272972948128 )x^{23} + (539341123009243266256758640136a^{2} - 341294600248997603788807503160a - 217881443923244938405831325680 )x^{22} + (-455750649394343766506117937248a^{2} + 599580965827783512255402823136a + 341605951825761213882059818064 )x^{21} + (-478593621545980515657615592392a^{2} - 451115087954133223765881145232a - 73247738449411370309444746120 )x^{20} + (-65156202798572717887099303328a^{2} - 321349995416193487014911640736a + 51128905512151416427030075168 )x^{19} + (557462464895369043380791007528a^{2} + 402679686506427709020845733856a - 90460051384813201389940980568 )x^{18} + (-144093172155345864147916578848a^{2} + 520606556463344552896207665216a - 601780532434205485410920598704 )x^{17} + (-433581209869803639593551094128a^{2} + 591904351273015505736545730652a - 105302611691022252123942022472 )x^{16} + (559564970072586562289680038176a^{2} - 125975395143827234894169516896a - 444620117090088295748939382208 )x^{15} + (-511709469849802285367544399224a^{2} + 20081210310599322964930484296a - 418107117433671692692415366488 )x^{14} + (-546502006031487405927826604720a^{2} - 6958498621706353451620281888a - 84249889144948010219923904064 )x^{13} + (-259535572424595933439214916416a^{2} - 474436716323384676831428650720a - 91203467215034714120475186240 )x^{12} + (256041340488250676660309599872a^{2} + 283467595549714295219838719808a + 590384370014711466004183266848 )x^{11} + (-607352603293800124589960653344a^{2} + 436671797521307143675068027832a - 46170189713903708676603943904 )x^{10} + (13548392136690462176688702448a^{2} - 156658044869893130816724780928a + 25860633927402357649149974048 )x^{9} + (-213673685919433073435274767128a^{2} + 55708790786778719897680386796a - 559830599397570761449374215664 )x^{8} + (-427393870070436441682793318048a^{2} - 108011745990774335406216589984a - 390019916909701103261329205376 )x^{7} + (167709208865286780383978279408a^{2} + 539661202021636795739882562528a - 538786453447726514578821457632 )x^{6} + (-456527391866576528112215155360a^{2} - 550993265553992248196659498032a + 505513117988736290430576479024 )x^{5} + (570208335889043786794440878584a^{2} - 582339463875039287260269545000a + 198484662720886962103884312704 )x^{4} + (-486525196815904450661903580032a^{2} - 287805920879500667343181531136a - 283351697866869044130388440736 )x^{3} + (402121021885534067681547641520a^{2} - 558229598358449826578296009632a + 59878273555678004136840855424 )x^{2} + (284447637339190879261444638144a^{2} - 244214924508728463505865860544a - 137168898911353527572863816544 )x + 14970111507627095704399990112a^{2} + 81893876077018943033063286408a + 506034298112889601681006480020 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary