← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.390252_730642_971390.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((166744124987873700227689868272a^{2} - 304640071440848415531986872618a - 38360590072423915040516864586)\mu_3 - 203439043687094099169917160955a^{2} + 265438422059373184255717895277a + 33478591004603411107643385945)b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + ((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 1)\mu_3 + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-256104820370090079359181523712a^{2} + 45877087200696533168187006536a + 310871234624436044848498757792 )x^{47} + (284852877987478809640627446004a^{2} + 237162293988305466367614815196a + 534951599199968496202039545892 )x^{46} + (-439849828634932609807775640976a^{2} - 139842168961050254329858186624a - 175984109777246192260130141976 )x^{45} + (-345054662788103451910953895520a^{2} + 35778757227820396987420312720a + 470582146206080045904165765296 )x^{44} + (191183347469094831175837951584a^{2} + 4734515954561026164169229080a + 394178478841215505671679445624 )x^{43} + (-216462952851454165841946581476a^{2} - 269825352487049012570704151180a + 85989617213457014017155561036 )x^{42} + (-90960191441317203342415011960a^{2} - 622993190866558530225476287752a + 237927469793718105432817201832 )x^{41} + (266076542902335258270160182724a^{2} + 272136187906981086758876012488a - 531749759856653415746152443348 )x^{40} + (281098045779424141837047965360a^{2} - 227095654570280638489328407344a + 373048295545351668349877608752 )x^{39} + (566907815866720914857426667500a^{2} - 215717040841363027635962231944a + 125835243184415608929841109956 )x^{38} + (-53174149254797991993846831544a^{2} - 89968964432860570631841949688a - 439032456053104782689242351320 )x^{37} + (-523591865329068117563076749772a^{2} - 393394282660986957361643360740a + 521912539163876111441043111384 )x^{36} + (-548610677297435366960887736752a^{2} - 390481626870775499319783442416a - 224901489848505407713989998720 )x^{35} + (-167093382530102640116684382792a^{2} - 380685032862011239631762241652a - 203040832466891796982742725704 )x^{34} + (111009763127982367016595654080a^{2} - 149736878469250397115646433784a + 24184275817035144326800305704 )x^{33} + (547298541277352078867866034798a^{2} - 505889732141214566736310966574a + 505034083380593706077657085920 )x^{32} + (-491546152590610998649422230128a^{2} + 96125702633528829793620960496a + 536953819468460003897149039936 )x^{31} + (553946645354362023575484279120a^{2} + 279354083793307700444074214456a + 596289788713873764448876617888 )x^{30} + (-11099352663159246710588343400a^{2} - 84115268811705221831905519288a - 11378544234338912384043213600 )x^{29} + (-425881058055427700982605683412a^{2} + 17555082914917800167796374848a - 368930661650138761288176874772 )x^{28} + (201987229199664508024914447984a^{2} + 522919051700980091962070451456a - 461769741898566819942444080848 )x^{27} + (-172039644263836140158669080800a^{2} - 413755238722036754041362752720a + 505007394775107623947236233800 )x^{26} + (-489864223890879260873587391384a^{2} - 212793130539728562205267491600a - 601058436068557664193982405064 )x^{25} + (228542274619252718077983453592a^{2} - 244539615237787335641153152892a + 581025292192348496344848577680 )x^{24} + (-34166701841759645392364441760a^{2} + 410968706914671048485000091648a - 585665179950411273537946978752 )x^{23} + (-46223178706769301578783669688a^{2} - 343229398428121365972740597136a + 84475624316342925229711808632 )x^{22} + (39870720906532272215317876064a^{2} - 541403631405234810799031906720a - 449019130830411988874795948864 )x^{21} + (38713017535909296581424193776a^{2} + 230260398192788125900997841208a - 2969963658365827291879391856 )x^{20} + (-182349329983441020142415633648a^{2} - 148148807463477636377353807120a - 616347209809940528969768127584 )x^{19} + (-434008156988210539729529797032a^{2} + 410653156653168256764972669576a + 537004350821179373309547863016 )x^{18} + (530351865577285833317200451472a^{2} - 434117732357439989991562781104a + 538826599690570370984609476992 )x^{17} + (130839860445090902120836601176a^{2} - 61772652299781708713867964400a - 310563690732277570621642879900 )x^{16} + (351077355752028523238602894016a^{2} - 245787231169137904695959286560a - 374343005842469010852777948000 )x^{15} + (-618706092363961077902232560608a^{2} + 454694161294104121001520071872a - 538330844006961509543646124560 )x^{14} + (244118131573954365486432648208a^{2} - 195367389306505567421822927808a - 165514805924021735474709113584 )x^{13} + (420919878965504394496226217488a^{2} + 483894959481457573935569923144a + 498652654060451271223430196000 )x^{12} + (630106443850498956020784752448a^{2} - 89493114607761079150171631808a + 534570596623711706791431748864 )x^{11} + (-593649003219289172730439305256a^{2} + 466757812522251469621755899024a + 154534821869009260462526695984 )x^{10} + (288893452750946540836853457088a^{2} - 77615725479587984094114778896a + 114411413494149964023643095280 )x^{9} + (-584650138430657455536797891564a^{2} - 593838461058416996922469254684a - 419788454311149054428455063108 )x^{8} + (155753998544663532212380859296a^{2} - 502421882170786544807140561824a - 173293705152231500709131973984 )x^{7} + (207500672423474364952532195584a^{2} - 510541817737684115264444384080a - 616963072226803094640132347184 )x^{6} + (-402217145038724859553034739584a^{2} - 89568752817288418300147601056a - 534776192968567862968912209472 )x^{5} + (-197664659533205392682945818704a^{2} - 75699857965375494154402404064a - 613646428422900179969293566104 )x^{4} + (-541536761519419453809651332576a^{2} + 152850793272750092407006231392a + 486128505986015074794891003104 )x^{3} + (-554119307449816526320428988880a^{2} - 67817948505350223445129523824a + 201500741744318119445559882832 )x^{2} + (93010667024231072700827215232a^{2} + 618940779839339183708962205888a + 494652659480184974966428813424 )x + 428258890380959922992737122212a^{2} + 360715239234902462628054032976a - 79452678273384246304615261392 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary