← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.390252_730642_971390.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((166744124987873700227689868272a^{2} - 304640071440848415531986872618a - 38360590072423915040516864586)\mu_3 - 203439043687094099169917160955a^{2} + 265438422059373184255717895277a + 33478591004603411107643385945)b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + ((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 1)\mu_3 + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (244348311566750888031188320072a^{2} - 468862260844172465219549710960a - 420010753142027133215925344072 )x^{47} + (414209812547679105885406509348a^{2} + 214149107252317410235068393996a + 486362240700366772196680121104 )x^{46} + (-509941130111571241764963937592a^{2} + 426930227155762179093652113768a + 225133613511116204096975109240 )x^{45} + (109717521929770397420591313192a^{2} + 580310823562321099316518659676a - 245850501817773767304424302840 )x^{44} + (-558865713066712377911989568816a^{2} + 609397155675882372034594211344a + 579043839096117607655522616496 )x^{43} + (517632835569737733093665218048a^{2} - 357267969145214121158979869884a + 621009672273854422060501126256 )x^{42} + (303774209964446842970242345480a^{2} - 130097346062172611109614488184a + 54534545509782257938131993080 )x^{41} + (-47995474518161569333685555348a^{2} - 94724728329172121002474350492a + 348786660146077096782708905328 )x^{40} + (219667490147389794851308705296a^{2} + 520016316183533182208069385024a - 59304079296377603047010279232 )x^{39} + (-629262583768616119315746355784a^{2} - 151051304022681352144095518344a - 443663473094139201997803880336 )x^{38} + (-297328050808963180049834627840a^{2} - 489996868593680756781167926704a + 60385508481129204438571368760 )x^{37} + (-436681353355533463686599062528a^{2} - 223914818439846256368336402052a + 403551491215052150668249016656 )x^{36} + (210663907450580387971326683088a^{2} - 576522044115907731433738517600a + 172011794794368947573114032448 )x^{35} + (428576561999097879287319452560a^{2} - 12208481356751118884569402292a - 47559879818544701945402092712 )x^{34} + (61374887757660543411697940168a^{2} - 538458993407856904716419575568a - 276756498742676876427417852592 )x^{33} + (349118387768282707683203537632a^{2} + 154081285993260423839481262742a - 481941617219430273301381216108 )x^{32} + (-489452510239605864146713775040a^{2} - 550819729459078432948509166768a - 478090490950880528560431750864 )x^{31} + (-82665970977584058883527945352a^{2} + 506553362816080026450205635616a - 91794668093631669840672915768 )x^{30} + (-255800465610539036901096667904a^{2} + 345293654293828595580850400824a + 446482132814688233681479826800 )x^{29} + (-460210415879209868755885675060a^{2} - 277804843680699636301275284564a + 255169765197053487843151224712 )x^{28} + (-529604137270023613658617721216a^{2} - 225575254761165940308660001408a + 35878673206882067706357154160 )x^{27} + (-348811240442562792414429012656a^{2} - 152967116750859650812706890632a + 181894172027541257284030876416 )x^{26} + (-265860850906293133481084859824a^{2} - 538043884583871261377785129984a + 331265722627257105338146721200 )x^{25} + (-554108663349372650801226983088a^{2} + 310345523642132399993358403412a - 110472137955075458373371908804 )x^{24} + (-407588362918536151049445220496a^{2} + 189326433742624119581520477648a + 602234536875822833590238883648 )x^{23} + (595993873154433703728414953720a^{2} + 434243932516681867731822373944a - 147387208242910274419636191072 )x^{22} + (628648148156580238387680462400a^{2} + 486924346346104833741027655104a - 144281971720369456961405076240 )x^{21} + (483083869913401696405837676944a^{2} + 553305364817580883026704084016a - 187109178994511681585079513872 )x^{20} + (-603380098669616864885732892480a^{2} - 266733102643305168126949385824a - 565291768132162611159246865760 )x^{19} + (-404016499817130847689535217384a^{2} + 569276893834576450423145382208a + 401304709697056139789289472792 )x^{18} + (208859994379360987764718264272a^{2} + 126239282590163761409339619040a + 562424836370637561931317716992 )x^{17} + (-463439255501156811184553638328a^{2} - 607593457525997499115178215780a - 140446138045398603216980782040 )x^{16} + (162052737323636080555164708512a^{2} + 302326614635694543275982050784a + 276892330506311671345150689664 )x^{15} + (509056748095327096254486727432a^{2} - 287317551626979279704875659096a - 184245629346306735687415299416 )x^{14} + (-453789436987041299277440954000a^{2} - 83344497229719834110748814144a + 93900747601098586012767339104 )x^{13} + (-26553624963734036666678272256a^{2} - 38285444439356183398657710800a - 459606080703009509673402458768 )x^{12} + (423704900396670820148590386208a^{2} + 17749855694054011199325815008a - 54219258644614342102579674144 )x^{11} + (233423617092559769510610287616a^{2} - 170894504401060652691873527144a - 275668730789868968466248933712 )x^{10} + (-206972543031019196323098361232a^{2} - 577349028039074812958451422784a + 209668911158307883795234565536 )x^{9} + (-82292470687937389431351845880a^{2} - 133576774897041086318015756708a - 63098591225343446814021820272 )x^{8} + (-430224870421655002862849472800a^{2} - 190421468657074960102370240672a + 166504546481528689046953925312 )x^{7} + (449374447778313906578098994640a^{2} + 362071167149389967707128603040a - 553057641989103792296904275648 )x^{6} + (333405604927434167094542517280a^{2} + 16993467079242274074059142416a + 173125578480067279648844298704 )x^{5} + (427070731202173234781005941512a^{2} - 528315676570293507166028151240a - 426675537669351198122710136288 )x^{4} + (314191111458261522655203160512a^{2} + 494207697999709266401381204160a + 85570448578909340593489219808 )x^{3} + (312542032745402489400454987696a^{2} + 601485882487730068271981131840a - 307698778062851899010800901760 )x^{2} + (338638371035554479218194008384a^{2} + 377382408457569830172773439072a + 24106106998700830343439869504 )x - 576778218681812504612360818336a^{2} - 324175450182469463836825962488a + 76057312374821901625038665460 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary