← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.390252_730642_971390.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((166744124987873700227689868272a^{2} - 304640071440848415531986872618a - 38360590072423915040516864586)\mu_3 - 203439043687094099169917160955a^{2} + 265438422059373184255717895277a + 33478591004603411107643385945)b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + ((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 1)\mu_3 + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-256104820370090079359181523712a^{2} + 45877087200696533168187006536a + 310871234624436044848498757792 )x^{47} + (-514642595564838743364235157420a^{2} - 394082845646384126936773277420a - 200464765928170381977374951508 )x^{46} + (587661357673994865036397621904a^{2} + 106745263065228321442032685328a - 353872609078015068379571406696 )x^{45} + (-184097335378052522847119340728a^{2} + 408616728168347096588037512176a - 299689456775042044296227539656 )x^{44} + (416241967025298722896570943840a^{2} - 548351727893979788591042650904a + 454915619453381802484096569224 )x^{43} + (-521959095645701993150855063308a^{2} + 26444774629517227574714313100a + 177323330084900878674550784068 )x^{42} + (147909928220943715594970903784a^{2} - 534013202148811121763265718064a + 445173386538046910562212550200 )x^{41} + (123134909600980628729851405612a^{2} + 231717492133969157079230289752a + 285733261969790770521732788860 )x^{40} + (480898260474826815613370468432a^{2} - 424305233684750462495798706096a - 582130541085134597557266069040 )x^{39} + (-88014990100405934641254592164a^{2} - 198900255566661574970561556440a - 29212343506304660673637716524 )x^{38} + (283585175190007035188410432216a^{2} + 119374695328248155448845191080a + 244806851421572769342996359112 )x^{37} + (574727366070380703273356337892a^{2} - 563978281183262130691970503780a + 107360193787871950459114590456 )x^{36} + (-32734323970565810410416815184a^{2} - 108734250479704546330125867888a + 209805982309185745091946359584 )x^{35} + (-83640737284435860600307097144a^{2} - 26959192936117599422888078068a - 250992383267842771635445774680 )x^{34} + (-442421695049050930555731835936a^{2} + 268517088177632201269125340952a + 421239911525467117612933157688 )x^{33} + (484651198743645940992847837682a^{2} + 137427753419798876066614913226a - 541439037932126916564785507036 )x^{32} + (-48997639148564502252963290992a^{2} + 162247885200785890257816948528a + 120206175542747745463335728192 )x^{31} + (-78390936727971005710169804464a^{2} + 384679030314529030842795412616a + 491230751731898063770090364256 )x^{30} + (-303680859970422935536181097480a^{2} + 505028487282972690409382914984a + 322008509709210003714429417312 )x^{29} + (-422859013016160027840853522236a^{2} + 105635413764883782258475017392a - 170345996438315103409184766284 )x^{28} + (-419802368299981871762323682224a^{2} - 168454435721403965529544231808a - 558523234430095360894354824912 )x^{27} + (-619175494299948580883830384048a^{2} + 333012696660168666327370389040a - 273213664459753090623220258648 )x^{26} + (-544191226920803752443687448680a^{2} + 630662349755142452984263919440a - 240072635588678781613533050120 )x^{25} + (49991370951847168379758943872a^{2} + 319935148980279596762915700908a - 284292461318034312560368835672 )x^{24} + (-549286423538731346628607378752a^{2} - 539168450545236097184540178912a + 394498827125912993519446932032 )x^{23} + (-133685686636408877035370118712a^{2} - 599995377203740204186827149520a - 411867406340715793445357662552 )x^{22} + (-265896906498288767890316089984a^{2} - 405956578963669862649566310944a + 145261563473493031453863919200 )x^{21} + (605927136463558635134358514496a^{2} - 468053048207446345084633224392a - 621889074907314295070480558800 )x^{20} + (471453993857133283329386998416a^{2} + 109940804865364664213062001680a - 290566997204505908987274647104 )x^{19} + (-96563825371202756368203450440a^{2} + 41382463845077669395429168088a - 361270318635235797810868349576 )x^{18} + (453352600647702300773391782320a^{2} + 324462655581039608615584793552a + 460470539300743474965721752160 )x^{17} + (352465781541574202409530953352a^{2} + 375643653998404924375581935456a + 63085627868404162800897869460 )x^{16} + (180622190415258141790068740672a^{2} - 399988369984434561754539723936a + 194605205405296397266424622240 )x^{15} + (373967500803107775377273806048a^{2} + 523092651764704585085997024512a - 150547276861728977965383719696 )x^{14} + (-359932965164570583898360925008a^{2} - 140517059523777033077686070240a - 494919057155217937024433800016 )x^{13} + (-319328811855795450812973881680a^{2} - 450147620734156007469282977624a - 541711884746309946840212997888 )x^{12} + (386637601336263451259139839168a^{2} - 232733786195678034562503523456a + 492212668703552809173859783808 )x^{11} + (228814355038504619414093274376a^{2} + 151749272209883117519458947296a - 528383192382048649506832379408 )x^{10} + (-313657653549169364456455797728a^{2} - 122771396126082967567729118000a - 136896882985045607706698392272 )x^{9} + (56111332525200244722395156564a^{2} - 299814271092923431249700591436a - 44763707103696574070184353764 )x^{8} + (173991713962027178158553301536a^{2} - 572424857918645310711939141856a - 353136047535989311269994135072 )x^{7} + (373560739363013603926581765664a^{2} - 429393918112157427968455671056a - 177224201694419527873905343120 )x^{6} + (589936921166415898224145728832a^{2} + 128100471857356161816480635488a + 416841584273585718344416050400 )x^{5} + (614257829883664677261185137888a^{2} - 232060290543205411080352198560a - 621723487620072336555279999624 )x^{4} + (-343754200749345689958289197088a^{2} - 376832092486411197613327608736a + 359363239521202816263288080544 )x^{3} + (-372662780141909463055240935136a^{2} + 15789645878417540542639135392a - 546508166905967193078488472320 )x^{2} + (-329429355742087148271511352800a^{2} - 70785182229816608617506156640a - 314585637267899379076683150832 )x - 511115101571407607143839822716a^{2} - 155689334537311086327440246768a + 510367475743660742179553051120 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary