← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.390252_730642_971390.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((166744124987873700227689868272a^{2} - 304640071440848415531986872618a - 38360590072423915040516864586)\mu_3 - 203439043687094099169917160955a^{2} + 265438422059373184255717895277a + 33478591004603411107643385945)b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1)))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + ((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 1)\mu_3 + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + (2a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3))c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (244348311566750888031188320072a^{2} - 468862260844172465219549710960a - 420010753142027133215925344072 )x^{47} + (-251027016651564051756337222588a^{2} + 216223908215364121524840615564a + 471253035412464440148860992376 )x^{46} + (362598669030284949842136747976a^{2} + 986061189170094440189037512a + 427060919369128298192547267496 )x^{45} + (44226524173970508308531757920a^{2} + 506037431755360302538815990452a - 323452372385021920897204265608 )x^{44} + (273751233216232794163753034432a^{2} - 632870323210298723139891951248a + 48510575677094394760107719120 )x^{43} + (-151963818860310039274056657312a^{2} - 172459804226661947604371086364a + 405123967769187862686452567944 )x^{42} + (430840596843383180179168655040a^{2} + 29486675033906156895896816168a + 462929753021247228330524170408 )x^{41} + (190258363711951905512516450380a^{2} - 190670413932250454085390950140a - 296865677467916860789054656240 )x^{40} + (242738788559322736313661036560a^{2} + 526339761858974993479128662688a + 249790956569045735936874297120 )x^{39} + (261316576485070219683505232712a^{2} + 339160437779459518318619235640a - 519799875424777465022448214360 )x^{38} + (-435891908168370425599779919168a^{2} - 403509415945653811301033415312a - 331118106459631865036231471096 )x^{37} + (192926615786954420292102464312a^{2} + 528537406894592731849690436612a - 114800937852863891219291437656 )x^{36} + (301426099944565755841263478896a^{2} - 23586687555589129380093247616a - 536903589578850760586730545824 )x^{35} + (-550209275825479148891116701976a^{2} + 591758602325006167757918377164a - 276482396703971385939874034424 )x^{34} + (211937110351109911548802692680a^{2} - 451022311781436637259618829024a - 392644170233081882073064241328 )x^{33} + (548915664281594164878623395224a^{2} + 81332318547600909428552521218a + 453946650438153810409032481152 )x^{32} + (192681505638547927386371902432a^{2} - 207864153194025030574627754288a - 619063547805966588691419173712 )x^{31} + (-45373404165481834604252862248a^{2} + 399007445228698596902843491024a - 632510269322729532611742354488 )x^{30} + (-215658614096254481485145851104a^{2} + 156605679241347147250136525816a - 510228821570773752290661093872 )x^{29} + (-218352917424110724600156885724a^{2} - 114992636667464885305323786604a - 227522487471350041490693970232 )x^{28} + (-338892995577070520486014286240a^{2} + 448114481257723610859242280864a + 176988838162010616257287370320 )x^{27} + (448918907819715233535585961688a^{2} - 327001673441650048411737811960a - 476437356034987458467776275640 )x^{26} + (53221609778760957096824610416a^{2} + 170355259152423540717794162736a - 287526995083766441029869412960 )x^{25} + (153266545398620701863698996152a^{2} + 476832374714595453256956842156a + 351765537658443483840381258676 )x^{24} + (-442165244109320308362228054928a^{2} + 4798563624327248729453991344a - 354574147204449743556847906880 )x^{23} + (594019148029443094797774878200a^{2} - 566687679009437905942666067784a - 339745904404432347431513091456 )x^{22} + (469584875452350061207768008800a^{2} - 102568607417770383880575296096a - 145446844740360967677824886992 )x^{21} + (608996339406912095419966673072a^{2} + 531591726564806363560559850320a + 240254025189335036307799884144 )x^{20} + (-547136160120348888839721286816a^{2} + 567015926932103039890832986048a - 566762862520399171060390164320 )x^{19} + (-585011275374209503268805581896a^{2} + 251682048376080621269652445920a - 50263537943895493734148996552 )x^{18} + (436994990330370797027580135744a^{2} - 483472072103683262447428516304a - 481499000347287993312163939328 )x^{17} + (212373155080038887040386112024a^{2} - 247230475112066338798033786100a - 197360574190252677462929055496 )x^{16} + (-148022341833922381517743463968a^{2} + 214563776326334621169933579552a + 369207657043220230387388984768 )x^{15} + (344962022597283284767592102984a^{2} + 336043610553654448199791621704a - 53424408114840752948370443704 )x^{14} + (461463550939475623248937815472a^{2} + 487957708545971721990333842304a - 356072396195288116720033763456 )x^{13} + (-453607294952755538316676720192a^{2} - 290177037852491635695388722032a - 88218875640870552053845824560 )x^{12} + (501164620358134926537882630624a^{2} + 378681914950448222106818354784a + 238958417883783006343936979744 )x^{11} + (326888938923881144536390085360a^{2} + 508163617393790725509852925800a - 11708967983734617998751761888 )x^{10} + (346781768984981464668849791152a^{2} + 169539064446666523022519277280a - 216936267767447519740697174144 )x^{9} + (45414062752118027112869403800a^{2} - 461323412076098923040639336484a - 5450907317856850633534746960 )x^{8} + (64473612130505880360742453600a^{2} + 458253210606885909588300341024a - 353604827470432624591586921984 )x^{7} + (-555110894203232589071971074896a^{2} + 317677530087708889714031709120a + 196122961792442271258940014976 )x^{6} + (135681868580401407695227570144a^{2} + 435053000267842445421175685680a - 579742329407282173374264536592 )x^{5} + (191610464564857011340915546120a^{2} - 499209567733895360774725684120a + 483851476200841348145266810224 )x^{4} + (-214787576025387490088168477696a^{2} - 130843761846294595423027573696a - 511302200182919004868647514208 )x^{3} + (169994912310424097623073676624a^{2} - 14571176533237185674831660256a - 572410055097567103148575987200 )x^{2} + (-470182269980605125748673062784a^{2} + 261637718576239037300350387648a + 49388713413655442871670198336 )x - 514450757260692963763968584736a^{2} + 187942163992865923334597196312a - 107857593004963965567951902732 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary