← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.384634_589494_860364.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((130693493677504073382662922712a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217523)\mu_3 + (130693493677504073382662922711a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217522))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + (3a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + 3\mu_3b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-290919858498152589853407259832a^{2} - 393816086241757323472094515440a + 244871610867068383571610749736 )x^{47} + (-560123977799662391300322062420a^{2} + 13885638087201194726906028276a + 153771580475624413163120370280 )x^{46} + (-135307261099812288630981927640a^{2} - 64727667148085095395152530272a - 267002548285205938044848454344 )x^{45} + (-291732496305069287399986815544a^{2} + 345912768905790307588006438116a - 349259667190948776069366661088 )x^{44} + (296034347979423474378238677704a^{2} - 605445655501233961134054373920a - 512859597279000214917089464600 )x^{43} + (-603704614943565318354812690908a^{2} + 292505062535527042593159301356a + 474207925197827948919347609008 )x^{42} + (516785207221256980799535033744a^{2} - 98602220290312042674328327672a + 606599441468768258192390399896 )x^{41} + (-594792369389272578294969376460a^{2} - 556679496786559138414984226672a - 621691406071359554089937229504 )x^{40} + (25932384536433710880677281712a^{2} + 520271558686687618637554887200a + 160171021223375184847341730352 )x^{39} + (-423636445747578442957479001876a^{2} - 576639078243457767724958719332a - 38583319299177322609940847596 )x^{38} + (-527631985569288515265471882808a^{2} + 177199022205903167525274287696a - 172418995087529639413130313640 )x^{37} + (-58619240618108505209367525964a^{2} - 99522094543241168731152375052a + 593706856725068989084626038696 )x^{36} + (-582821809437920860862922007328a^{2} - 619875114942019839805471568544a - 68378265712745340286135597488 )x^{35} + (365032848291361720764672280684a^{2} - 261074466098260376158631319940a + 356722280490070475444416606172 )x^{34} + (-538838830088393688317533135808a^{2} - 49158067399384170323548125848a - 239031821670365821806519150888 )x^{33} + (369815049467979562900281500406a^{2} + 265218901473422422294130828702a + 290319024245936843720458424820 )x^{32} + (-127543973292789791342971399968a^{2} - 352121742816240411619766421856a + 106377828092852229389376871456 )x^{31} + (258901493825657032549065334704a^{2} + 526722159550131732953270113832a - 128318731945814823347406950960 )x^{30} + (37905644616171886149752171800a^{2} - 180162612853621726008864017176a - 108259416845992694468112882576 )x^{29} + (160708330145134429959461935540a^{2} - 251194515514599059155145858500a - 51329409242851014827260464760 )x^{28} + (280321701126928065993143162240a^{2} - 505077001321276103100332111680a + 342587704714227595858319292256 )x^{27} + (606685104165531013350746773792a^{2} + 133280107270895374814854804344a + 339450765974876210326296755544 )x^{26} + (85617356540319019778420083640a^{2} - 60726974959173046011528450888a + 448750726962961729144838742256 )x^{25} + (210908676140803634047869066368a^{2} + 367332106039048679357832421456a + 601110136884877441182094007120 )x^{24} + (160000050736451323194738970880a^{2} - 456397437256193816462225240896a + 621782909691422873868938727936 )x^{23} + (139673182995517375035120313344a^{2} + 6019588364063713661970249736a + 560912033784363509787935263232 )x^{22} + (-35255358961274371136647352480a^{2} - 196599578316531859197155620016a + 289830428894625642181060250064 )x^{21} + (-105529009817535704109192871256a^{2} + 412627032850793972251925127328a - 557857345298326296507815881424 )x^{20} + (561358512783350141867365803840a^{2} + 613644121859341618757687879440a - 100781311401476088015419162672 )x^{19} + (279539328336551175828810565416a^{2} - 625837961008459075167187512880a - 633200545367677082845322435480 )x^{18} + (-265453672825635630360435183152a^{2} + 118948628188360487233286281504a + 618766205483765385958214036000 )x^{17} + (618634266325092609069590768040a^{2} + 397642382198446628171569897112a - 276287519596166142205361711508 )x^{16} + (525714490134405946797359826528a^{2} - 492765553258519276688112910432a + 424386266014569062980057156448 )x^{15} + (-451909986264453223626564655056a^{2} + 24370588244889854837528871968a + 533914254134980404952164681024 )x^{14} + (529070782074428567294839632480a^{2} + 552031092951014487665725804752a - 499134219659099060423588537040 )x^{13} + (-270992857178828715877632314824a^{2} - 373082942220358729229532433936a + 562422853530948286245491068672 )x^{12} + (224835056499262475845151816576a^{2} - 133847627130595067855166487328a + 419326155311779507624801111008 )x^{11} + (11321225851289647173184402008a^{2} + 461890847766689266398131123456a - 106573645264181697793927600256 )x^{10} + (-540121687385860315629169066192a^{2} + 27728076330930409389033933744a + 62574585824308422390372977936 )x^{9} + (284275196534486235147364788840a^{2} - 551873750068976673298130249636a + 193184459034483478265815899760 )x^{8} + (-28861042022876267149944996736a^{2} - 165696347349283755291454032192a - 90454948147929311633539235392 )x^{7} + (-383458928598439956559359186480a^{2} + 139625615418626372261065409168a - 301038170044688775669888748608 )x^{6} + (-117879676299640332293546862112a^{2} - 226248028648548532903015041152a + 306872019092567100474156702464 )x^{5} + (98709317908766422235688551648a^{2} + 43763332270490418141235289976a - 606929331236587073269528257680 )x^{4} + (-581405011169556988575265819840a^{2} + 173048256314017144812156536928a + 120389220054394897292122057504 )x^{3} + (56335817599787145975087987632a^{2} - 159541052833946470785537875792a - 32534685350613147796286627024 )x^{2} + (37930790882914787023608881024a^{2} - 593616696106432514090875856912a - 473083145647292971961388490336 )x + 347046617603003052687642548912a^{2} - 353388418782808481113163812036a - 75583656414621160485693734216 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary