← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.384634_589494_860364.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((130693493677504073382662922712a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217523)\mu_3 + (130693493677504073382662922711a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217522))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + (3a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + 3\mu_3b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-290919858498152589853407259832a^{2} - 393816086241757323472094515440a + 244871610867068383571610749736 )x^{47} + (196169946559010466434665730412a^{2} + 591384284759565673373001483484a + 452478938585947446189966345384 )x^{46} + (63742239201021029455751164040a^{2} - 117646032109875109110647878064a + 379593686151113783613182052088 )x^{45} + (102575860007212690021571365088a^{2} - 154055169000227990138487311660a - 86355477899041849619918479544 )x^{44} + (-272489247535763598422052407224a^{2} + 596761625823393018654297191568a - 628952487417977415522347194008 )x^{43} + (502617263865828041872670278036a^{2} + 526493204290055501025476762900a - 21133492196377236713570289256 )x^{42} + (450795104941693186479862077072a^{2} - 14314748336090382410099031376a + 68600075829187844365022263240 )x^{41} + (580177684279150837615944499196a^{2} + 242556526353156373518874995148a + 409984133652147452835369024676 )x^{40} + (237188415497670854838053365104a^{2} + 80618821456967506920783534656a - 322809346003839743538777237584 )x^{39} + (-52229805588396386122270786884a^{2} + 278462313821932467717844014588a - 70695056368649600640203691500 )x^{38} + (-122219555626110841323999834680a^{2} + 63825868994968707369654042704a - 15259572977392869208895353400 )x^{37} + (-490997503247165997412138584476a^{2} - 346337456073661995527930359444a + 486786821766882654227669373240 )x^{36} + (-125756778419322968913578222240a^{2} - 69322622951477072251087182400a - 208467370634742459396971656912 )x^{35} + (-617907722643963453057881570364a^{2} - 430190669434741275328644956948a + 368598773183825910866543167644 )x^{34} + (-238034142226984000839485151728a^{2} + 223408153012729990661928857000a + 451836953841317680560515726952 )x^{33} + (28246081011147985812220668546a^{2} + 127488804893539128015866881022a - 98959637244307400060036844748 )x^{32} + (-116915563907283947740173361344a^{2} - 323878483352323033982339496960a - 518031537750780393085691118912 )x^{31} + (-85269006370782228268358764192a^{2} + 150069179649070372942418119272a + 494365965072647905066327361056 )x^{30} + (-493076589549598369973666097352a^{2} - 132558456020362749683291339672a - 420482495600222450390295834768 )x^{29} + (41036067829002820371552328940a^{2} + 632201357865909845923555700620a + 295405052131614975333178856664 )x^{28} + (-188573793712898468643339192448a^{2} - 514976777937043248169652845024a - 488384149344810741749739732288 )x^{27} + (-141563857958247601616157538160a^{2} + 40265864470803719942038871912a + 316334175743781819775787384072 )x^{26} + (-390687608963960742126836322104a^{2} + 428197098869416228070066237800a + 296799140280404960725044694672 )x^{25} + (305194598314875360624998158200a^{2} - 315906120281563670147208437840a - 534812983814192549777638888400 )x^{24} + (556169512215401161646008067072a^{2} - 318522062541550582583716585952a - 463793971380407650283024309824 )x^{23} + (-79012658936917478569301155408a^{2} + 113808402278378423831288398264a - 305706519079753818431395249776 )x^{22} + (-353947002935580229528046158336a^{2} - 539419513300058653822411612880a + 545204876447876469719353238672 )x^{21} + (195702278007757884618015777896a^{2} + 129833462885984842241977498384a + 343532714691297214436718830360 )x^{20} + (333559988685368215165710987360a^{2} - 601289536244964501986306934320a + 419964961008805405558530900336 )x^{19} + (404994774454286588946898286152a^{2} - 364399329447905732912245514784a - 301444418324890032847950048600 )x^{18} + (1180438667015695758820936976a^{2} - 292400879992557585020116935776a + 454711328959544315144948580544 )x^{17} + (-139683579033193983805413367976a^{2} + 120094347938570209902539174488a + 78994075833145461273698807540 )x^{16} + (-200247692934587668444681615520a^{2} + 387216706469581983967300594592a - 269275234306742850102841037536 )x^{15} + (304879072523263079302472077424a^{2} - 220418979602042921219601390304a + 530381111600325592156288719296 )x^{14} + (236973760691830359557587742560a^{2} + 552565090102798032598103345008a - 60377961574365267928572251632 )x^{13} + (518109621439719348787618742120a^{2} - 203387232118466677134925158304a - 555354134224508477260239241744 )x^{12} + (454642210378269589054808534752a^{2} + 393332313530772479580746749856a + 392501779447863067672974558016 )x^{11} + (266138535691667246200842753992a^{2} - 141893158206387390873383797312a - 334142386553394847910876088192 )x^{10} + (-441288639455632408476656560784a^{2} + 322430541974668709419742651024a - 443459310661560776224161535344 )x^{9} + (296848064645482340661413239304a^{2} + 47612844685356433030968803596a - 507447892670761713902907891776 )x^{8} + (-171978270923138566080913243520a^{2} - 612742740594615349505747949440a + 602630691826725999103442639552 )x^{7} + (32979892741151002327000370352a^{2} - 386616946787693109668103700720a - 581379560158913023368880044032 )x^{6} + (546650266353421186246142036096a^{2} - 502817150360778290315348530496a - 166438977829183444714172343264 )x^{5} + (458378849139127414606098936736a^{2} + 62836449405256522226247298872a - 175777954234358719911079352432 )x^{4} + (263696828217454331083884697664a^{2} - 76488108043315566718154592a - 210080587720143926151348116704 )x^{3} + (580770613277852814674557500336a^{2} - 549386351058626885231823177344a + 446979592007810282679973347392 )x^{2} + (147934876247409271752329278048a^{2} - 107160345804473217726768757424a - 279659904808512758228386026432 )x - 67427180558221218350433015680a^{2} + 599357851616095670397139293676a + 217947916722994879919561127144 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary