← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.384634_589494_860364.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((130693493677504073382662922712a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217523)\mu_3 + (130693493677504073382662922711a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217522))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + (3a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + 3\mu_3b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-290919858498152589853407259832a^{2} - 393816086241757323472094515440a + 244871610867068383571610749736 )x^{47} + (-311294894219618314655592853484a^{2} - 506276782386059593998641260428a - 549995906019970268785230483672 )x^{46} + (449878348390631404234330541272a^{2} + 217139907708704090331511265024a - 418353212256667814201786516008 )x^{45} + (-195790414606357176192669137664a^{2} + 109356302663628311293952955236a - 465475870996555833948096122600 )x^{44} + (431635486913763108847406347416a^{2} + 453031710333511888380388624128a + 136138354400019716906941550664 )x^{43} + (163623682007243834574103150076a^{2} - 425446778565383863340620129564a - 321174270883456432497133464784 )x^{42} + (276832042646551113495047744512a^{2} - 445154774986435999476001947664a - 421495369924209923949594587376 )x^{41} + (-578333787521495944865483098012a^{2} - 550151070029195881186232721288a - 58983230029294010145295050988 )x^{40} + (-451999513939726106706640288240a^{2} + 110486928815241127592963631968a - 373561831610649591099353368816 )x^{39} + (-453228124600975982776719890644a^{2} - 205220268772773062572625791060a + 241758289094629803990112499156 )x^{38} + (-521607090172473053773875065480a^{2} + 71676247131771917163847969504a + 416632477602016571622720999928 )x^{37} + (299672660128811343732869477972a^{2} - 321987292269871522905066810788a + 406373492930510878775113932800 )x^{36} + (-560732912867314022625240031520a^{2} - 13300179942282949402823698720a + 564134121679001817805723065392 )x^{35} + (278472099568844538954260721756a^{2} + 379554208953802714956901844524a - 166659600468482585823496114084 )x^{34} + (-71324374293018180969970243248a^{2} - 144223758391542885404276526872a - 556658637705335378700539385752 )x^{33} + (-1676905693420165567527244326a^{2} + 494521362084900457302892003014a + 345037544983558370609066134256 )x^{32} + (-306757851453279502015139619904a^{2} - 86742947704764199351056561504a - 163676422733521848730147674432 )x^{31} + (-612293189130707232211936772080a^{2} - 605139502873607965564193868984a - 146703693517850038031481225264 )x^{30} + (-253625664174737825126802005416a^{2} - 525377576460217897136356904120a - 311347452346824558251863663632 )x^{29} + (-315422168546125502277729676164a^{2} + 161517396180979474449427680036a + 248361516266963355569799876976 )x^{28} + (615905753483940541724830690752a^{2} + 21418517861123886840560196576a - 464078807973045601026848716800 )x^{27} + (-30326391820218239293458220160a^{2} + 290811162473966223289835060360a + 185178253253127288828450503720 )x^{26} + (280002904700875554853282600968a^{2} + 575668260998707166413019614328a - 254520256690587816643867052704 )x^{25} + (-56804730046452637035442738232a^{2} - 45827602835517547627902423016a - 452345565052060443664323855024 )x^{24} + (-405993550498122289330845377568a^{2} - 96031709756317294626525295136a - 504662318503485931008024397728 )x^{23} + (-50768425349500805409259438160a^{2} - 454427889548944551326979906264a - 31029473604908099481355400832 )x^{22} + (67840851271285812114042564000a^{2} + 534136065254817501960937456336a - 310051383607186896162283185328 )x^{21} + (333370018747275693569246680128a^{2} - 337647704204410600224891310392a + 302864158057489030942861641200 )x^{20} + (561817357798075619953997476736a^{2} + 176809121534574575970657255728a + 633468762062641598865549653456 )x^{19} + (425554078072578420334080205304a^{2} + 130459255784665512813580511184a + 320016775824906744709542184232 )x^{18} + (-606483255383665527326321579120a^{2} - 570777831677266491494446347200a + 623623423569053075368012126400 )x^{17} + (-283539257571033209841478237904a^{2} + 35092852212855492451242326368a + 343775517927322068279774845180 )x^{16} + (-558787988301234638119883490720a^{2} + 525843743150812332910779822944a + 586783368136182314811512650656 )x^{15} + (152738604214736042938488259184a^{2} - 30850593187792956454531714560a - 322221853005102307543390617216 )x^{14} + (106135135427645260217046351040a^{2} - 600670305470628766974341846640a + 245535011095143023626033347952 )x^{13} + (180628551756606725065161643272a^{2} + 420800662589844785514399388608a - 155484619382945292060461472960 )x^{12} + (-42934213519952832793832267008a^{2} + 270914913631987198523890158144a + 396546882524210970350505298752 )x^{11} + (-55779868215138711383940742168a^{2} - 126618584459768419496480654864a - 551438716593818226019399654080 )x^{10} + (160971653388283397551965810608a^{2} - 435855743454238261182983793872a - 79284151032623776674350985744 )x^{9} + (298551242549496461325972130440a^{2} - 269974464443510491067105109300a - 226316984128855281263087185952 )x^{8} + (-341801070576319051074777903424a^{2} + 243112470707471788465963393536a + 603497347602438411668681655296 )x^{7} + (-591070533462741833042091744784a^{2} + 118833799677946879014200100208a + 430693994344935194304891349984 )x^{6} + (266200167475585360416054172256a^{2} - 460326932953676035445347627360a - 459617709174411329911512753184 )x^{5} + (-190816563940674677634646390256a^{2} + 169691093680613868602613743304a + 377099580810750974464980122784 )x^{4} + (79577667999260521035766007936a^{2} - 29308315596517370278695883744a + 148172894237396363651727894432 )x^{3} + (-596197754569909891461323678496a^{2} + 524071886620787974426511567584a - 438556965457573656742949058560 )x^{2} + (-528857442622738010710076392128a^{2} - 519698189553030980445070006864a - 151032237002322931965884252128 )x + 273018131298945389078236396464a^{2} - 48733655366071518556936873604a - 199721160639884120124293101640 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary