← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.384634_589494_860364.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((130693493677504073382662922712a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217523)\mu_3 + (130693493677504073382662922711a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217522))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + (3a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + 3\mu_3b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-290919858498152589853407259832a^{2} - 393816086241757323472094515440a + 244871610867068383571610749736 )x^{47} + (-309909588865694736842535433244a^{2} - 463556381170474204475114307748a + 69222551016031368673935809112 )x^{46} + (-164682689805543460167423076456a^{2} - 265798318140900089003669600848a - 250553690123500139210598446728 )x^{45} + (-220562120004175015548279519400a^{2} + 351678708358497082885422768532a - 425240337927517583925466525408 )x^{44} + (564260988815862384084687743608a^{2} - 391725709460970160389326609616a - 518976456358017318164699075928 )x^{43} + (460714847571380733569044147372a^{2} + 561070210419245137347936635484a + 15932602712806086592410892520 )x^{42} + (-157734177492794792344606849872a^{2} + 174294746627838975014565674616a + 218612530342606809220008740992 )x^{41} + (-457804584256489414740864884100a^{2} - 280134106472496558127275405956a - 33171920100709027417357488296 )x^{40} + (342229121876668220190330167632a^{2} + 410574084527272012359595232832a + 421324908777838119873904731664 )x^{39} + (-92572170171025443828591144740a^{2} - 180886233479032932997553411924a + 395510186475285115296347869236 )x^{38} + (-562103668225354654600581494536a^{2} + 182371319690546133425353348384a - 519593397241405058412768676920 )x^{37} + (107615937593203289724026014964a^{2} + 379675419049470242884902263732a - 428241547431835454655256380992 )x^{36} + (615823206800284732455504823520a^{2} + 105001630752586891075321021312a - 167315579171037277034285420400 )x^{35} + (-335667925471390128351779228620a^{2} + 541975702266637035685506490172a + 405696656593087353830782208236 )x^{34} + (-580001724306051504745514457024a^{2} + 347267691456314846717257773448a + 84369585168769552204082856440 )x^{33} + (-576265249915531025783403638506a^{2} - 404600490419156844060911714602a - 136951826607724657698568890568 )x^{32} + (-489387478133764978233632835104a^{2} + 631137907675172000056610344320a + 473191329132155824248909591904 )x^{31} + (401676924093303518621487519552a^{2} + 169685326847636993229999745928a - 44979922605423664451683074368 )x^{30} + (195184071519451104447589225464a^{2} - 169516364218801911405233156792a - 412524472326668678072578312016 )x^{29} + (601168711814441242296735066084a^{2} + 475884149972333934579409976356a + 604309653946263735355930681968 )x^{28} + (19022617548122119960087721088a^{2} - 355398971607704769516869045120a + 206008081641371176048094889120 )x^{27} + (-338631188118592028939354724560a^{2} - 104431548946678850697071678696a + 509827763079163801778806866360 )x^{26} + (225937170978216663210917401016a^{2} - 180764621408142759506822865336a + 155667553397135751961286801920 )x^{25} + (467555148431506177961033606736a^{2} + 225349392379893407109365595656a + 288150952624608155040131798240 )x^{24} + (260341969808697377978167366304a^{2} + 125639466295683738915113848896a - 348828209023219839338035862944 )x^{23} + (395356693360102854998690509376a^{2} + 526389379898276030698065909272a + 34711922761621780530506862928 )x^{22} + (-113120022697555067539165879232a^{2} - 296572407140248441547382313552a + 114731659421973229705016711312 )x^{21} + (449930553261511705387695752480a^{2} + 241692371781008883603859899480a + 343605897132758249862575470280 )x^{20} + (123485178092980862211867318304a^{2} - 317202987872069974542211648656a - 328332369115569754364084781392 )x^{19} + (-138711484341643176886785397640a^{2} + 559895423626887300357513132512a - 50870451104003612683230082424 )x^{18} + (541040226676184313063488177200a^{2} - 146700280095784343273395056672a - 370303519576426520777007827808 )x^{17} + (-374773003337043352198517458608a^{2} - 254283120980008648491910273776a - 609151885213352179259719292940 )x^{16} + (591337442828542189736141492320a^{2} - 405355164033778907724647227936a + 632686823414852113975466791136 )x^{15} + (-351044800646144068583849154704a^{2} + 259307117797029581515229280000a + 122127018223469282934611209344 )x^{14} + (-481838805488641055760752446208a^{2} - 150629561163496273427509825936a + 194686869915476325545256071632 )x^{13} + (-542325561079278594212760940968a^{2} - 137756750760008711781262346576a + 410491825762478584963232514416 )x^{12} + (-452926442786166329412786497120a^{2} - 81314073319802390920111484928a + 467802381800531560240966307808 )x^{11} + (140511185298205623381209218840a^{2} + 489661118743398551787572039920a + 139402862025926603019929283776 )x^{10} + (-135084187631512280437498545104a^{2} + 124249156493672873782919477648a + 346754170471969539725033265904 )x^{9} + (502316125583815564443111979720a^{2} + 177978668128832597972913628700a - 508120541337702539560757732816 )x^{8} + (-20313604305489033886293144128a^{2} - 633017102213982495271599874112a + 428095761451040236531183301504 )x^{7} + (97925760399669456285126253904a^{2} - 312011035014627107738330886352a + 299132125914551406861104471712 )x^{6} + (39253202095013294253593602432a^{2} + 304538671681879050157821054368a - 209032915608409050315126524544 )x^{5} + (-401483982396462353861349635120a^{2} - 143918923155949731737696942200a + 151414495175483969560788122080 )x^{4} + (-201775287118118171551847423616a^{2} + 632595934409266345763766232288a - 35335613024031537117871627616 )x^{3} + (110609084027585478904170342464a^{2} + 527381473853052726803232077840a + 362637341216865679414475527312 )x^{2} + (-156217269783217054530461851616a^{2} + 145228353224605356005019126544a + 129270154329809215798691652992 )x + 619331911230878384001386097120a^{2} + 512434827530413341384521427500a - 194984081213718021780506318808 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary