← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.384634_589494_860364.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((130693493677504073382662922712a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217523)\mu_3 + (130693493677504073382662922711a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217522))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + (3a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + 3\mu_3b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-290919858498152589853407259832a^{2} - 393816086241757323472094515440a + 244871610867068383571610749736 )x^{47} + (-56802075698566990220218559596a^{2} - 212453851150968463153611401684a - 400682338872368001877569873632 )x^{46} + (163265014857983520331432992440a^{2} + 255516149582768168751812819888a - 128374786438119885480373755032 )x^{45} + (224873605952569554315361547464a^{2} - 443169957669027905736506558628a + 6734424435254553664926463600 )x^{44} + (-58159419820088237417989299656a^{2} - 121657512974951039418856588464a + 425097631144975943345392410776 )x^{43} + (-411956526153358990245761258348a^{2} + 512343272997264440556659371612a - 170091633820221137720905939640 )x^{42} + (-259935721689255388480429594072a^{2} + 97763278611821041592731317448a - 91432535924001567415010894584 )x^{41} + (-431760109888171358234805957716a^{2} + 92125787874383259743927465348a + 453626511400144705938515123344 )x^{40} + (-501253210240276312446659708496a^{2} + 216355055174336511500782610400a + 504647166491175446309803113488 )x^{39} + (607238938207811352088131638732a^{2} - 20905347766451010663570516628a - 552329203672283063425322070588 )x^{38} + (187783127845185115104589590120a^{2} + 443845975653583727558420555536a - 398754854247716288179040369016 )x^{37} + (470866257474277645428284699980a^{2} - 548762491111754302718912754292a - 224770063870861167592877883832 )x^{36} + (281368141605752280523381928896a^{2} - 560492092389350565431159620832a - 28277476359876181811366279408 )x^{35} + (108873780837206346218701106636a^{2} - 65900676681344529974535165164a + 109934780107384133513581952252 )x^{34} + (-337372032152978564292576029888a^{2} + 530164668473103557214672313192a + 216860937282578910411790594472 )x^{33} + (195276975803654537771315153954a^{2} + 206618664994745606551569338202a + 353820010094510205624587128068 )x^{32} + (301474985218159596982222062368a^{2} + 124802162969998155878104712192a - 44450669731788061299681768096 )x^{31} + (491282366203059995186561852944a^{2} + 161117418437595430309724246952a - 156676976063131471786447690192 )x^{30} + (-388712657375866499187554734600a^{2} + 486036041276506019606573198440a + 618537364605939625972838004848 )x^{29} + (309312916004936732465914931084a^{2} - 10317227786815782147474507940a + 288731409725490362469898073816 )x^{28} + (-185384672664151069934728233856a^{2} - 211225715961018735030004759616a - 232383335255082602107623031680 )x^{27} + (-553593131300436050563410278736a^{2} + 533647181760901274735276071416a - 581158599230187257002174425160 )x^{26} + (-265210623660320535342491933208a^{2} - 37116853117833119134838035352a + 630326488888913050161708604448 )x^{25} + (-538487358459101280055626228024a^{2} - 117111882755735383115611533328a + 28315986486692938437087650480 )x^{24} + (486967358066948404399043706944a^{2} - 378944019785264142996044052576a - 169520987254599761176749433952 )x^{23} + (-538202076818154110252594247600a^{2} - 370766745490037667444922887848a - 128301775085322798727725122192 )x^{22} + (424545125838591337113407267072a^{2} + 614460110232262514489109586640a + 336828349316826634353036870576 )x^{21} + (-586508476398674597248743380048a^{2} - 105115156001338171922325639128a + 382613972636555528709080316360 )x^{20} + (269394379117847998175529903904a^{2} + 521612903822013710651618988528a - 88985854056114438010083072592 )x^{19} + (-323556796489493285671956193976a^{2} + 454180667742667656438010022752a - 573467375217675384308576568392 )x^{18} + (-349815610720421711564674389040a^{2} - 613816382661579091016945442080a - 144691540825219944677049516640 )x^{17} + (-276476151265578472452437793824a^{2} + 24481525221509474143028864544a - 455358034059104988347040916716 )x^{16} + (-82017355500906582164938840608a^{2} + 154630229921890313666764654880a - 503523840589652577310902081696 )x^{15} + (-57035122559933661358514141424a^{2} - 596350474753846429232617627168a - 575855516154725178383025378336 )x^{14} + (463525325876767618075292590944a^{2} - 104877463977120020112758982064a - 106144045817389043042416635984 )x^{13} + (335444657281326158003953610360a^{2} - 384121572821108269857758323264a + 502226329535104537836544376352 )x^{12} + (-554266802169963707374837416352a^{2} + 419606276761339153646000085248a - 8308096393043824974019125664 )x^{11} + (8081392472490423944668788408a^{2} - 416741291646749645331588676432a - 198335736310518499752405280560 )x^{10} + (241192230594319459025299512720a^{2} - 606085952442021821470547042704a - 71005756491937143349525213392 )x^{9} + (485775407461609695426012105272a^{2} + 489218575006555273637286309388a + 568030723974829584343039725392 )x^{8} + (89491678767440928592693375424a^{2} - 214408831062762215935316855424a - 275981838800454070189569699840 )x^{7} + (504119051728058875911483893168a^{2} + 180297522756707930790455125136a - 190624495423198937366467961024 )x^{6} + (18374435304627376476209622432a^{2} - 466933664324827053474634275424a - 219400056085814500056666352768 )x^{5} + (-494452199798207760035339328176a^{2} - 541143178930558619197215075448a + 349120394513597036827868015424 )x^{4} + (-140604982296838897603505275072a^{2} - 310306283963928096306494796064a - 9750555701363727637321576800 )x^{3} + (330531692222587397836858558656a^{2} + 537921990593977569578727550752a - 101972255756605111915547379664 )x^{2} + (-466114355485411710991033797728a^{2} + 627650235111423251227322091472a - 42176255378550193161146345824 )x + 490043564070796098021030910480a^{2} + 625287986789978344476648496812a + 263335791008601235864640982712 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary