← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.384634_589494_860364.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((130693493677504073382662922712a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217523)\mu_3 + (130693493677504073382662922711a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217522))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + (3a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + 3\mu_3b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-290919858498152589853407259832a^{2} - 393816086241757323472094515440a + 244871610867068383571610749736 )x^{47} + (-534277094555573329973010850972a^{2} + 615769114524775128879602523060a - 476584682131199383026112744592 )x^{46} + (-617629157745268626091010163720a^{2} - 291208527900602626345506153056a - 385813408859361424715793504056 )x^{45} + (192799098140312970014861228704a^{2} + 385646842724567856034214279308a - 300895756088720786319903677080 )x^{44} + (430749858158372003931797236632a^{2} - 377386532669857040021901126656a - 19901698524585238398198664456 )x^{43} + (508524315674629576423245993524a^{2} - 325767310503394724008447771484a - 101829121083052696185121801376 )x^{42} + (626907493279087411133254416024a^{2} - 607621770043267222739747865792a - 215623840370736380771658460376 )x^{41} + (9698045811982410214846008524a^{2} - 493598199361403878122341744056a - 476359951310466788701276455780 )x^{40} + (334223400272975068335871524848a^{2} + 552820923902946795016022899584a - 577165838793847876195232144560 )x^{39} + (480565034806021236387407754908a^{2} + 559984927240665870560082938316a - 501966686122741803621184497180 )x^{38} + (-598513946452527389709411437656a^{2} + 407458808692032313588822164304a + 577378488359691454402878848664 )x^{37} + (-418613669541246779744477697172a^{2} + 20112314920543885456198406404a - 483371716997042112084800462360 )x^{36} + (114056959344556677736399830272a^{2} - 41980642168860602430577394720a + 426603221291380786429086729040 )x^{35} + (503196866434130727628897686740a^{2} + 209172080643427787253055166340a + 68429676307995125018524711436 )x^{34} + (594177540009417616554865948688a^{2} + 240447885132535374471300974888a - 398934940949145136022925076616 )x^{33} + (14849203748240156272562974350a^{2} + 364667577434209461400400170330a + 292320293954479296927314649588 )x^{32} + (390067119190761421793208883584a^{2} + 631726136066480876916933142560a + 436551669294407079830416398272 )x^{31} + (266811211797521082602181350208a^{2} - 42549608328597215450178527064a + 167938612852531587233393790016 )x^{30} + (382436650841425695753324364120a^{2} - 328732883686633372501011852824a - 364306640514613538925983383440 )x^{29} + (181137951023753052008717955508a^{2} + 76004651524192601674373107836a - 414132158295688946558013013912 )x^{28} + (405801291223517080591367572096a^{2} + 284254526734131689547057563232a + 588233200381318235914240447328 )x^{27} + (466137133624874460907008801568a^{2} + 330036059844821585782942072808a - 389383554931306919479872144312 )x^{26} + (-446526657159918650705621707656a^{2} + 141283944644684718856584135512a + 476379486597314693459530004352 )x^{25} + (-168168538440041606792885114976a^{2} - 18667591192618017564225499184a - 18386803747873025906253562288 )x^{24} + (105870330041397325692364616256a^{2} + 587888153046609641536132119040a + 382814419381637463853358511072 )x^{23} + (433235358703484225049141826400a^{2} - 212945744728677379568092161848a - 517840443567746717987275066144 )x^{22} + (-425989564541130690247560413280a^{2} + 341382511903173743074385355248a - 370656952168246205205936519952 )x^{21} + (103181596143224302348333658960a^{2} - 613867052141194810428456002504a + 313792024441557221192857208880 )x^{20} + (581160555268165889768853101824a^{2} - 290560419012843422830816298704a - 167794719272328779899741877360 )x^{19} + (-65086818334809560060988834680a^{2} - 608052734102256270524747923152a - 467503331533518433839881494760 )x^{18} + (-589414829910226606438629596208a^{2} + 215555534141052201776769465632a - 316715628321034535814067891552 )x^{17} + (-608362643935951233988716977152a^{2} - 236090272485792868652569566832a - 563807294148680343495656187236 )x^{16} + (-97879692271396696692218208032a^{2} - 188180610062497157364548382304a + 3158001974285449877385349792 )x^{15} + (-423458993524625542943612325424a^{2} - 421143988240449777701857753440a - 345837041171031252391838693408 )x^{14} + (211228905101467282295258772384a^{2} + 557251989199278606532298742640a + 279422276215923171283278509904 )x^{13} + (-513285876170216287285738407416a^{2} + 308203124859623423493709871280a + 611128039854954110344353254128 )x^{12} + (-368814096990029976345185538624a^{2} + 508868389059345005983264289600a + 322185056517494543687341078080 )x^{11} + (-432905591021650657447795705016a^{2} + 50815179743645305369277712016a - 477299413846748590219033123344 )x^{10} + (525389419734506360342556205840a^{2} - 76567893461105721482971991664a - 503455724752461142211396203600 )x^{9} + (575902519244924761160116565464a^{2} + 266639097330881093166933329788a + 130228140932385528926782798176 )x^{8} + (149120295146269870360558133312a^{2} + 167333757119320242932558210368a + 510059967958991116386450150528 )x^{7} + (-191159303774500202648859271152a^{2} - 344226748113617785564481130224a - 356111000533164756272308802560 )x^{6} + (410069874424659267103502865216a^{2} + 72033698449161551916312527712a + 254926011002003171505717897184 )x^{5} + (202417368946624990968410079888a^{2} + 9496114339374927118904571208a + 614438617603103579274386878464 )x^{4} + (-482888499824924124123344386368a^{2} - 622266391237248640591936610656a - 535098826066931678798063903200 )x^{3} + (-321046095669496857130548697024a^{2} + 152086760598785841240022510320a + 331342264191907902677965709344 )x^{2} + (-292205066168930309607407857792a^{2} - 487117401835206172168829072272a - 564947968144249316019592388032 )x + 618934230144828706535239929376a^{2} + 45104909695542767258480441148a + 90447294276913595174728652744 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary