← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.384634_589494_860364.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((130693493677504073382662922712a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217523)\mu_3 + (130693493677504073382662922711a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217522))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + (3a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + 3\mu_3b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-290919858498152589853407259832a^{2} - 393816086241757323472094515440a + 244871610867068383571610749736 )x^{47} + (599147948789695073392490272940a^{2} + 93178746801417118953918676652a + 254215949263126681967443757424 )x^{46} + (-621302592601180676512064723064a^{2} + 405017645244309552060906379280a - 244860076639081494586226221784 )x^{45} + (375707128255720156599217358448a^{2} - 77232654723021609978712077780a - 457231337776770093018695509080 )x^{44} + (-31146374543438373055254559704a^{2} + 443669563734248957049209867760a + 273039162385870079196088573784 )x^{43} + (-2303408507963633128178040596a^{2} - 524514775106377971699766926860a - 347791089632141525121733384232 )x^{42} + (327485118390964348523613482024a^{2} - 554873045392337599956579346768a - 370677002581524130689263874416 )x^{41} + (587682744508369639766679985372a^{2} + 198326696271561418963363587148a + 203289032872737894915150430204 )x^{40} + (6286685575386572452468231184a^{2} + 468840695960586272576955726624a + 420404323385630185126268571504 )x^{39} + (-560835648390225768317734630964a^{2} - 199856091599692959009017752708a + 320154081820405117083862831652 )x^{38} + (99735153089563069780234097432a^{2} - 221362438246300327205560149312a - 232748290322032247579677247928 )x^{37} + (491518573398138007387331565964a^{2} - 511377951758130026194550329580a + 404957971921891711548094913504 )x^{36} + (503099916973327509223919606016a^{2} - 506117258451895504457262548448a - 6358504161723342096762105328 )x^{35} + (150017601877109523990026293628a^{2} + 337024618852693741190993943620a - 533448289924282615059932264020 )x^{34} + (-162201656242994293577718031600a^{2} - 271717886281291897932164564344a + 469895720888756146555216792568 )x^{33} + (380623129605487188540580608654a^{2} + 557990475386857426311962257522a - 52453241891438891621796292216 )x^{32} + (232733572931329564926603405440a^{2} + 496193649023658440280221953152a + 488596256786687284145715830080 )x^{31} + (381290132194214986888368326256a^{2} + 25053856660819670171986890408a - 103018376754303577611300628816 )x^{30} + (398732245645600935989377254392a^{2} + 29406592554848134504157435016a - 539309445920244157258092716048 )x^{29} + (445556925428925907963715588788a^{2} - 258678577840224470871434707260a - 131538370504071318849125959632 )x^{28} + (130464310219986780369243513472a^{2} + 225541299028861813287818266848a - 105158937015445082356230688416 )x^{27} + (-83959899767349658694985569712a^{2} + 226662465128040461733001521128a + 224499625655476214359846194376 )x^{26} + (337233645286413592201421427160a^{2} + 556845789049315843170536265000a - 32983750704912738901859803984 )x^{25} + (-57770822644296982585123021392a^{2} - 492788148629106745443111771560a + 382300276106406358824023316000 )x^{24} + (374921153001431341551355951328a^{2} - 563119295330732613945002787584a + 109274462052085296923874173504 )x^{23} + (-292676325857223753337367371360a^{2} - 143983776177689321311010285928a - 486745113956468365632927875248 )x^{22} + (-143034390896910397749080035520a^{2} + 453949613067118990898826735376a - 419793860103183443425240778768 )x^{21} + (-419015273332618534051018272840a^{2} + 509157668335670388235674350016a - 593230035043443735296624499368 )x^{20} + (-398973955291596356065949306720a^{2} + 99543482719312878641229416272a - 301059904056073255689538156176 )x^{19} + (-422648839650962765615779926312a^{2} + 40945911544625337877149377248a + 229341673702492915813759289560 )x^{18} + (-357714260418379180988978291760a^{2} - 227800055600282538752964922080a - 40043471728904623699464907616 )x^{17} + (-11253799681902955636573547416a^{2} - 427561524044356094924080795672a - 8903610511361769943046672748 )x^{16} + (61515524330281613078312712288a^{2} - 85718335280147187165711847584a - 84646900844879857933246440032 )x^{15} + (-569127473138058634972055777904a^{2} - 274122075906150740096024827584a + 391533695195425393555674469408 )x^{14} + (-262367066336460293653106196544a^{2} - 414632707039311731534165706352a + 116509673470881890841562325104 )x^{13} + (153574950427776444740363285448a^{2} + 562235709940273537048625116496a - 406548022742221951728596814368 )x^{12} + (-400843896680572304660634812384a^{2} - 411630169039404701233703872096a + 466092931314101615203365100096 )x^{11} + (-88624921680727633549468844248a^{2} + 448840733163049638136888860192a + 428607504576893028170775904656 )x^{10} + (483453834493305457956172406928a^{2} + 334429033565708791936253163248a + 420315446239788717686249933392 )x^{9} + (-335283004829713048977695035464a^{2} + 263192897261682412457473769660a + 417502527059953816934924614560 )x^{8} + (-225062767068578744562202975360a^{2} + 272164447249296303290510160064a - 484499655476596221472231966784 )x^{7} + (-236938151815554426521224787696a^{2} + 241994667854888224035598659376a - 210782423234964096422358786784 )x^{6} + (520064283984853300562881194976a^{2} - 566341651501916541586749650624a - 21905124598788443086961662496 )x^{5} + (-294991072292746250548564690496a^{2} - 346666224803118425254300180360a - 611475111073340566461336793904 )x^{4} + (155316652502011458943455265536a^{2} - 180059292411875838657083813984a + 164309066126061719430606138272 )x^{3} + (566045230684660334338350367472a^{2} - 621014768822663451229908481552a + 342675055812338815757428196224 )x^{2} + (583805287699507863682979291488a^{2} - 450898625081090090808036427440a - 314015846620492797089564740704 )x - 478658480815552158006265682128a^{2} + 195706990614047925662408146316a + 97078640249518163033344314392 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary