← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.384634_589494_860364.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((130693493677504073382662922712a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217523)\mu_3 + (130693493677504073382662922711a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217522))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + (3a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + 3\mu_3b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-290919858498152589853407259832a^{2} - 393816086241757323472094515440a + 244871610867068383571610749736 )x^{47} + (269354510580354789240376871276a^{2} + 259098022924247685753402682932a + 475976385082265572511812468272 )x^{46} + (89673246059133680296204232552a^{2} + 88517783229734263805282308992a + 585132353531019183321395722728 )x^{45} + (246637224990519206791643048584a^{2} + 113060207124124355396908507292a - 109319996240156977815225508416 )x^{44} + (378555177140933815769083909672a^{2} - 216296875078663022647548495712a - 261165502760507835754228266216 )x^{43} + (456546089982446087713100585996a^{2} + 590476752378531620032855613004a + 450364547513516173504614865376 )x^{42} + (63812152261285766730657279528a^{2} + 313297614126318193988338742184a + 288621962307561306567948973200 )x^{41} + (-117270682271762053215247074964a^{2} - 23598442738517042264632444760a + 221568176392668215871865194312 )x^{40} + (561574064572153773042522351056a^{2} + 463554534192804066025108572544a - 380226279643518552735842664144 )x^{39} + (-145339045003127333651825243780a^{2} - 125882639089905633009982848388a + 334467971186191424471019065316 )x^{38} + (-318836184664633569195837057960a^{2} - 466937766957479063117768697984a - 149161554596154831133226615752 )x^{37} + (-412043045109024824725031629284a^{2} + 522901746106572662754168213708a - 501400035824357186855361857296 )x^{36} + (-240848688204688267991093462144a^{2} + 240208206399424741966673094624a + 58586037104732392730105815632 )x^{35} + (-102311673571538651891081272220a^{2} + 329847243293830168158595090420a + 601966516615661593301233115852 )x^{34} + (-236063334715465892254310009792a^{2} - 427711801669904169970528364824a + 536948534103049108784572042120 )x^{33} + (-232807045018166682003364401094a^{2} + 340673831472123179316077324370a - 191064261884827035986524317280 )x^{32} + (-632705679677001923780984546400a^{2} - 593557422952158741410090866912a - 112308221765030473114488973664 )x^{31} + (141929630011368818500749654048a^{2} + 540397769269851182702272303976a - 268166726551568367741767309920 )x^{30} + (-558413850899763313075470255272a^{2} + 92721822214148984759723901448a + 458858355848812242887603808688 )x^{29} + (-275788183540815489609165268468a^{2} + 18314774414911129496318404980a - 13429896687410202514621855120 )x^{28} + (-449669456793614614958766254400a^{2} + 28303378899585056107281802816a + 403792675391579072281765662336 )x^{27} + (159998961400280859022661655872a^{2} + 534213670694554544663267211192a - 68114704188417367558939041352 )x^{26} + (-151465270495035307382903884472a^{2} + 185664697248736554396656223160a + 459518779665804116850516025168 )x^{25} + (315287700247409474718327168152a^{2} + 322030857617760948532749797128a - 617192245521644331560870118992 )x^{24} + (256437112237911093457748648608a^{2} + 599899866988831000641228882144a - 268751048203913545565160221376 )x^{23} + (144011475542103201029030438736a^{2} - 455507511988275837616178742008a - 416662327138748466659283508928 )x^{22} + (-628844594403146504865019935776a^{2} - 411291159946795403836250034896a - 236701668436012324195591235280 )x^{21} + (314183550046278171676024782776a^{2} + 545482564185437939956563921744a - 509381671286208345471134936560 )x^{20} + (188233779843150008639353685120a^{2} + 542196035959665688048183208848a - 534940059672060449917042853744 )x^{19} + (-319363823440852002574079305416a^{2} + 170042470379263766235481083632a + 335931468257969527366986830936 )x^{18} + (-190620497487987572884159993360a^{2} - 461301052679635409439396401152a + 322644291288103792978583099872 )x^{17} + (259429123834195263561931949464a^{2} - 79487758824378798696110364920a + 417825839668266586195293405324 )x^{16} + (264960806895235613128789974368a^{2} + 517110970354457790360650198880a + 522866668553388234181895577184 )x^{15} + (-587072853522943407215461804016a^{2} + 172513366258573690428352464768a - 478420236198256402000415326304 )x^{14} + (-87789904815853097074257131072a^{2} - 485148975711879467530814515984a - 546688807988432890622029926512 )x^{13} + (-51346501730346055954181321928a^{2} + 230894528481509540723715012416a + 177314070672867365533958015472 )x^{12} + (373833905201452481794103295552a^{2} + 511459349175275090683484313568a + 279909830335180873332686263904 )x^{11} + (347970263693126449972253416376a^{2} - 175852203217785720065150556800a + 303071551242888460896573726448 )x^{10} + (524882251262532786758750518736a^{2} + 58896161559304881838716971280a - 399139078200685164250890303024 )x^{9} + (345642661745747300776350220408a^{2} - 236574978946472838332219440692a + 626288502672120327558296476016 )x^{8} + (-451286388531721574545143579648a^{2} + 491707599418090281965044297600a - 59240691020839941035152998720 )x^{7} + (253731910210852609881614877040a^{2} - 612641434793796122955213709968a + 88954882578609578689487838176 )x^{6} + (221315448628304806659374511616a^{2} + 539429324731657614380546844480a - 398279529432988587845489432512 )x^{5} + (87003038999031140712703106688a^{2} + 380575702193257791759111901752a + 450195529546703181491253526192 )x^{4} + (-122749984122043544221900720512a^{2} - 321599721710177643163725795616a + 585168736763394034728337904928 )x^{3} + (-393775348340164835395312628912a^{2} - 235698513548320370261833682912a - 618732913139393123852750153936 )x^{2} + (223962853595573931034367733696a^{2} - 236693988254315365894153319184a + 583295318111358126716701679104 )x + 294044382027074876764476033888a^{2} - 467804017099407324581001292452a - 197377032461877360073235113880 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary