← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.384634_589494_860364.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((130693493677504073382662922712a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217523)\mu_3 + (130693493677504073382662922711a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217522))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + (3a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + 3\mu_3b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-555290103998639839919923350096a^{2} - 291645856937791697715344247328a + 252835315953676450102527599472 )x^{47} + (-137003171458877212368530130764a^{2} + 412988883374784242037959897952a - 329997204807363520874626842648 )x^{46} + (-605764653737561003881458794216a^{2} + 108643770831367304923995874648a - 504515710965128488100711583248 )x^{45} + (-111339054129882544656925996704a^{2} - 157252314746931420127522073352a + 465055244422804239501315070644 )x^{44} + (16973714586694263254431213952a^{2} - 81281220350756898990278340448a + 449164153982966656628464934176 )x^{43} + (-602982466380095078678576083004a^{2} + 460365281331048992376876197436a + 296001333041857783357725211020 )x^{42} + (-117947013793946241340329270224a^{2} + 199930267419487050105492273168a - 159573974148299845146240523264 )x^{41} + (-340675568044814559566883449128a^{2} + 113537428215734199140102328404a + 159720797521465915510126752016 )x^{40} + (204372747531347878771692557968a^{2} + 342171843133417805897708253680a - 10430857715513430377410569296 )x^{39} + (-573401009831883666915952778344a^{2} + 610207897386375805905700712352a + 494549994950329255642956848816 )x^{38} + (-246874208060144970646246526312a^{2} + 62729298897501629951439303128a - 555721717177641042085009059656 )x^{37} + (-614956906981478166766752329984a^{2} - 211387057437625201904479127524a + 256749781488321861701683216316 )x^{36} + (295318848241000587586634333696a^{2} - 130686212381144992327981827648a + 485511300785231002796080144944 )x^{35} + (444452356648919423680248324500a^{2} + 577622040798272451323780122084a - 42438903043482654467717943580 )x^{34} + (387389066271240184748035486032a^{2} + 267509133750536748662616139120a + 225548483223518180556617192880 )x^{33} + (-88809294727463848066497245538a^{2} - 428287964389175206717785207488a + 599339576573443135399802686654 )x^{32} + (-187711699955499020602155389648a^{2} + 121739141531953656016550653344a + 36463055350398129078046560896 )x^{31} + (138294525093416845233991326552a^{2} + 123937055526703658590943711816a - 140079098114879812675894003648 )x^{30} + (496617976840133269525341433896a^{2} + 561220504451260559574896317680a - 214614345897911645630382473120 )x^{29} + (-541806315726352600175847407768a^{2} + 96392578629733572035753980508a - 367303507732021312717978557940 )x^{28} + (-523419846297489143892390861152a^{2} - 49863350440848643741513682528a + 454535476948837522998054734656 )x^{27} + (-579459902872454353841195201184a^{2} + 61621852351307009943288047168a - 178888955613216756233603691584 )x^{26} + (387732356349591981829915016560a^{2} - 480736544414251568102695532272a - 89480795896182592962624250112 )x^{25} + (-56785780445821366160681361004a^{2} - 176048335871319865518806022816a + 476392728144637614553749964520 )x^{24} + (409750653154499092086231131840a^{2} + 230016529436672974640849858784a - 34108232338751028781013633936 )x^{23} + (559264585125775371600653440744a^{2} - 357377057976192020878124321408a + 197642532494863014464849323184 )x^{22} + (57342658884862058133634128464a^{2} + 73339655909506151137652352720a + 511372374830533369833994903040 )x^{21} + (-77319617736710605872087985368a^{2} - 364341356158580229232176166456a + 508178022024094677342535893024 )x^{20} + (-417080823266645755019312426400a^{2} - 373920952822252675545871211168a + 6620081975689969198495172960 )x^{19} + (325825452162654039604899900296a^{2} - 30002450510398068807498609832a + 73867884399818740426090219616 )x^{18} + (-342019585608001498388489114672a^{2} - 420318563970384765743080931856a + 353473469262155883870837016624 )x^{17} + (227379305557796888517335682156a^{2} + 387280062660598360847054282628a - 437574355376320658223551585368 )x^{16} + (-247258798662648558490572732448a^{2} - 236120675735316992775379292352a + 59419132404865056778336002944 )x^{15} + (578446136297380678679611302528a^{2} - 470491761905959358945444503800a - 530756452738534713442520543888 )x^{14} + (75370995110223414281828905776a^{2} - 385032411228244807706932041616a + 407273614040194096758163691136 )x^{13} + (-587266606158687213970292974440a^{2} - 293845658002349735292721755072a - 338860938429208227215608166848 )x^{12} + (400922123892528774694545571616a^{2} + 21637095046460695878956809504a + 343547362140020052210855238016 )x^{11} + (-315265562071967112929703176a^{2} - 356395088719979748841629406888a + 219261765900641987727544584296 )x^{10} + (-419739210991797782623689200512a^{2} - 560272175351248316022361665632a - 434543470925394044450772061280 )x^{9} + (145301297877651286955880603028a^{2} - 116088203991716343907220799840a + 87991815651302314398852647524 )x^{8} + (-517863222289614672866658161728a^{2} + 580338493225470710843838553728a - 614379839408994058085879494240 )x^{7} + (63251916401838034859147193344a^{2} - 34133684629890180616810783456a + 382729032635881059789129363808 )x^{6} + (-34518242053615537300106303840a^{2} + 505195362596178292579255910336a + 582280312889812251839636822016 )x^{5} + (615691225633743234815845852288a^{2} - 207407012736978758576164832648a - 120254340441108125078400350408 )x^{4} + (72667060869683800143956581312a^{2} + 210265090154919900382671325952a + 451549314593775263993791741248 )x^{3} + (392918704639994341775782075808a^{2} + 99867568408621456477679817808a - 623212509909469178702276182912 )x^{2} + (267862507439665465081680195808a^{2} + 596350083119022828611174403680a + 346745683970319549306185813792 )x - 405643913905415974644403278632a^{2} - 52698970519834589007363684688a + 8033660152310017458020957228 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary