← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.384634_589494_860364.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((130693493677504073382662922712a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217523)\mu_3 + (130693493677504073382662922711a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217522))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + (3a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + 3\mu_3b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-555290103998639839919923350096a^{2} - 291645856937791697715344247328a + 252835315953676450102527599472 )x^{47} + (266800810033463593147417068100a^{2} - 483684660372669724267713289528a + 618653716771298890291180702944 )x^{46} + (-18997102200734392764222719016a^{2} - 502156470332518304517185860408a + 332699692819067787365269530960 )x^{45} + (9156054758029576617592795440a^{2} - 396263827815086160338025026216a + 351976723401300844812856295092 )x^{44} + (-64240038471251570850931607264a^{2} - 120923431777395944112140815200a + 13931854047783192809803367392 )x^{43} + (-231849610814420283470206314572a^{2} - 239599132197671161966398363292a - 593689654394559049027909511268 )x^{42} + (46681197575488535561524774112a^{2} - 189458241507776829409309238696a + 536563361798029367624312758368 )x^{41} + (-312908979166807280305247210292a^{2} - 370918619587213042927766417664a - 587807821540135458218642351664 )x^{40} + (-198465538784518688488020668272a^{2} - 294183850545691990451569782032a + 147001690288924729943441771312 )x^{39} + (-324809987540427245081840556320a^{2} - 400763506459798098027072888608a - 212786308496063301805845261576 )x^{38} + (-50766062299687282448999313272a^{2} - 285085759723662874440725477544a + 445330168531580876643441372520 )x^{37} + (281382921010679274792554183080a^{2} - 243711212375948439223883829876a + 484175021855111280931318489756 )x^{36} + (75583149574104479675830941792a^{2} + 513105579213317353356819642320a + 57679530589368998370900111536 )x^{35} + (-462932645819706922486560163868a^{2} + 127426324116210586809043566692a + 386136944162532363138484431772 )x^{34} + (-281482387058030959417956232048a^{2} - 178844019902084745186039244368a + 9129657543499620121228557328 )x^{33} + (413922388347348799813777257962a^{2} - 605654679401012572403266906652a - 623702640445351682170156880954 )x^{32} + (412779516454703001537566094576a^{2} - 550153882357796194100617564384a - 180745124079333614468907081536 )x^{31} + (-258595818799664936687665984456a^{2} - 124182716204607382298416938152a + 62735259157927330557474275040 )x^{30} + (383317880466507221748428057576a^{2} - 511370428533463156376316299888a - 530249941571018190285857974880 )x^{29} + (-102513549850573968367409330384a^{2} + 397954350078971999989886849220a - 54759215548142055992040157260 )x^{28} + (240837276014613798339532243424a^{2} + 203241104893998350734527011776a + 283078730906645668962096435168 )x^{27} + (74563458781516011740558931280a^{2} - 633403060368359975930552876848a - 69962009409546306610794016504 )x^{26} + (54784910131525155589662486992a^{2} - 58908244349792544834159482048a - 320102870621311006509933489072 )x^{25} + (444845486527158068545654874780a^{2} - 315857332563320430599221880128a + 318106682229445867192728383368 )x^{24} + (-379206966208226979154298066368a^{2} - 78447200472301534133421082976a + 355109942005052744725964720816 )x^{23} + (-34152261942294399069584846920a^{2} - 516701118505591422783607385088a + 540111047769977611781702351344 )x^{22} + (-573221268474248699090845288656a^{2} - 598019744231068325450441628912a + 467534334878021087243296521952 )x^{21} + (230295281980914222941979815992a^{2} - 39985339460690900136092930872a + 300773952736486497778207374056 )x^{20} + (-462339734277837779587953514112a^{2} + 458869929323467785677656167264a - 172688946046860562655345738080 )x^{19} + (-96482771250995013994465536760a^{2} + 89716977674468493771862297608a + 487232660311552316355471703168 )x^{18} + (447736607844263642078503828720a^{2} - 975840549679647730420416208a + 486673990470927842677658292848 )x^{17} + (-575940841200800883087058399484a^{2} - 550252976569305818499160628372a + 497340437495347915667214182344 )x^{16} + (-74347867168925002190383172832a^{2} - 260537431853920270078620817984a - 515905588904827344157417935808 )x^{15} + (-2931393905214808783962109536a^{2} + 324684908828679076422946031400a - 331529967289437158544198202608 )x^{14} + (211949403874023142776096584336a^{2} - 12860043617111403572262790256a + 613632276930151414588548736224 )x^{13} + (428646635965977046121152153848a^{2} + 266428827407088740114866671600a - 371150903879932781699064705280 )x^{12} + (21089050514435612374233718944a^{2} - 473994712881462572995134157792a - 498238056657492187913971324480 )x^{11} + (494345611107824410929681547064a^{2} + 259618962999214760084626505640a - 182630182315866905927237587832 )x^{10} + (21923608266083946417946824128a^{2} + 428970474907586085488984940512a + 237807929140174215260933702368 )x^{9} + (31381671683818691762306296516a^{2} + 139731206612298662007707902368a + 296106256988268032095154156660 )x^{8} + (295591612633560693588002879808a^{2} - 315086321941249851853677275648a + 585722093469979331404584321120 )x^{7} + (-318136251875444495989726354080a^{2} + 228263106572923688414357147616a + 268572679025842388955618796704 )x^{6} + (-261080917818381501063358828000a^{2} + 221439654407081934577176162816a + 109693167588328323603011594336 )x^{5} + (-471049306474770255282037605904a^{2} - 367294720971874177090859446632a + 223945877830048803006701476872 )x^{4} + (-150951523163753348786631440512a^{2} - 61096258976735345467789816192a + 191538956390334584530801679360 )x^{3} + (314153302296627949043955031904a^{2} - 84074075576162152021890737040a + 459476056661913550969746574592 )x^{2} + (300984494788594236617640487360a^{2} + 74985050754713507968230458944a + 138608322388186921016346856992 )x + 402155947824840554755190828744a^{2} + 152445425554117709039849251856a + 460292596265049815590443972716 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary