← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.384634_589494_860364.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((130693493677504073382662922712a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217523)\mu_3 + (130693493677504073382662922711a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217522))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + (3a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + 3\mu_3b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-555290103998639839919923350096a^{2} - 291645856937791697715344247328a + 252835315953676450102527599472 )x^{47} + (111808470864471483796259750956a^{2} + 187394751221229273824947218328a + 56550418684547172520239909048 )x^{46} + (-205257686123162276880366230168a^{2} + 115040058485702701778548523064a + 257911187163729830576329973552 )x^{45} + (134622626836795355220466998408a^{2} + 501394024572085004765016860392a + 20433527721783664854416319156 )x^{44} + (370533400779966267415868244784a^{2} - 264869171199465972717900948048a + 62448277154634066803125818224 )x^{43} + (-100602512678519868017695089052a^{2} - 611531506435034886070643660268a + 211063895402175485347498731060 )x^{42} + (365362349597612531267337137008a^{2} + 142274606372282730663558605896a - 119515172875369960915647018648 )x^{41} + (-559440088858662328095028177232a^{2} + 73457573839155770925067637424a + 135408741755500420363955945144 )x^{40} + (-254867558040795893558428445968a^{2} + 194956056275547338091658148560a + 301326123372266098579040262960 )x^{39} + (-362030082655283920604603259224a^{2} + 18020792180657463756084119816a - 266280194938208419577081662808 )x^{38} + (-33834805444113762196349761592a^{2} + 264657424207893098976240781240a + 374913643302879138268819120296 )x^{37} + (22869913021939927444243502328a^{2} + 123965521965934309831111116908a + 489451628039771446801589631900 )x^{36} + (-539149880842446843038266348944a^{2} - 194664795491114063290143918768a + 509789906050064737655104672704 )x^{35} + (489775742678371737062997764516a^{2} - 288113236221775256878438319732a + 311406837742123818811168530308 )x^{34} + (145075305292129430971484268848a^{2} + 185537600257173355724473626864a + 38525026556541665332953049904 )x^{33} + (-629146053953634155257326833338a^{2} + 99460532868236434008205731468a - 96567327171055179431075298938 )x^{32} + (-372918855111878883723709632592a^{2} + 472285315806420708571111146400a - 525004905681764531777926627904 )x^{31} + (-475960938245760658791408680920a^{2} + 184580229446978564817424201368a + 64776910662341485027738484480 )x^{30} + (-187090264255052881383955587288a^{2} - 575652629775454192708207705456a + 476433768628550706878544903744 )x^{29} + (-608670330919212326409930929264a^{2} + 175025272894595299922054647196a - 614445742735728264482767659228 )x^{28} + (-229818822092932502102871012064a^{2} - 587618397749778644577793523808a - 370284683312712478035501777376 )x^{27} + (379788670248981280990099287736a^{2} - 410345935811809982410796507520a - 147756125162444735926302183600 )x^{26} + (-153487820867497489855157945088a^{2} - 34038086242093869164738121440a + 418871131787574333375254635792 )x^{25} + (-45728796032964690953923443764a^{2} - 497304325987221102997507894320a - 63314196844353758042304979712 )x^{24} + (393675210364801340466812241920a^{2} + 97583414061597307130217495968a + 263437577167011858700821991664 )x^{23} + (-27821830991023281498325352936a^{2} + 131530218632661788367666727840a - 523315809614019717614527288032 )x^{22} + (-575861699287773358909545981424a^{2} + 51937886768226052208004972080a + 600558660418692638246590825088 )x^{21} + (316151525578878237808392784384a^{2} + 80424700850206662581242415840a + 69829070242883112256928111696 )x^{20} + (-385191302601418557301951912480a^{2} - 175110002006193514922598654688a - 304874283598017997437727564896 )x^{19} + (25525729867208359454167196568a^{2} + 117965265582152164707089227800a + 522560632611744972445211686384 )x^{18} + (-291773133949497299703655744624a^{2} - 150422901299905211068695608976a + 546147801034903084802000344880 )x^{17} + (133154855588984077287685327452a^{2} + 309693438057669202698094774620a - 253620394835618441580484816568 )x^{16} + (449515327752363814779223698336a^{2} - 17994703619531264745807684992a - 623714233280490630987469996800 )x^{15} + (256622601830731794748875271008a^{2} + 148711314387687288275351118280a - 581347591210669624512045432656 )x^{14} + (65312038750706672296367050960a^{2} + 399308912700288226878297392144a + 56862463446535786246404953440 )x^{13} + (-361653604429519770655623534600a^{2} - 59052533501746061475503260080a - 7883838393500814274019762736 )x^{12} + (394534216704103784719012366880a^{2} - 131031775599078325865000759456a + 301690327209591229816478799232 )x^{11} + (161744861743475273936638194392a^{2} - 604820391432360007640903843160a + 167039064761865309322260338136 )x^{10} + (-301375290065872520491408930752a^{2} - 178693003610980313798318861216a - 557484261012516523329991175136 )x^{9} + (338706086841237222445844617620a^{2} + 138225128818197499178520304272a + 628883147851412331400847352388 )x^{8} + (3564977463829006153705427968a^{2} + 5303230846486828170287975232a + 405105077441102048990352256160 )x^{7} + (-61632971195051362271940882464a^{2} - 65159511748003433496202978208a + 44111357954511134722268627328 )x^{6} + (272818625471903785800244244608a^{2} + 153880030042463342745323536096a + 46442993404969335624037784640 )x^{5} + (-290602150072840703634279845600a^{2} - 362412840327219420340905279320a - 420953722178255644223686341128 )x^{4} + (-607162905818371750545530376896a^{2} + 382019761536456440174464685888a - 365104436809231720298618415104 )x^{3} + (270566454135865509231510540416a^{2} + 237512164740181382408439704048a + 282760118131172315338503215104 )x^{2} + (282331081034189042076653118144a^{2} + 124692641331513909684520096a + 333860472743362135560902359808 )x - 326740319969405230114605327688a^{2} + 428639575945250918769459393632a + 378953832344545533106930711084 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary