← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.384634_589494_860364.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((130693493677504073382662922712a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217523)\mu_3 + (130693493677504073382662922711a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217522))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + (3a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + 3\mu_3b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-555290103998639839919923350096a^{2} - 291645856937791697715344247328a + 252835315953676450102527599472 )x^{47} + (253106938922206588253625588220a^{2} - 347479115395813642662951241904a - 117780189922130696336668360304 )x^{46} + (277616722501482403409939960264a^{2} - 610143460911946820408504227544a - 245230026130675473085920861200 )x^{45} + (526183475180131408963303374888a^{2} + 146587842761262519623864756088a + 513257491280677402785637753748 )x^{44} + (80946635732968528708457822288a^{2} - 463558183337061649679262302864a - 61973829058106560488376437744 )x^{43} + (513225410788027608259119014356a^{2} + 352615262950486567757758528444a - 512383336405242185153249475980 )x^{42} + (161559356654792270772778459792a^{2} + 168607469062952668953016777904a + 44041315442198298235500430920 )x^{41} + (-537043423346539290360081515220a^{2} - 178992122026744893007072132116a - 371673499162891093048944567272 )x^{40} + (517810664210674358433606619504a^{2} - 336115838839355606471391154288a - 37577395574066139264401923088 )x^{39} + (-251830964001225508815574553872a^{2} + 139684229965033522466125935096a + 59166928400541099508874580176 )x^{38} + (170031752109360577078640649560a^{2} + 458765916390416907839350864024a + 156698293177339570452964592824 )x^{37} + (-195893394751727130107579207440a^{2} + 543789324973170740945578544748a + 459058624379515166000887904652 )x^{36} + (-472891243065898835954087337968a^{2} - 270656817161985777004569487808a + 78752946296546556188905026496 )x^{35} + (-185642223027899666957659597260a^{2} + 632977549600611541041367011372a - 601071755891637543565917190628 )x^{34} + (-525703936138903486015728878064a^{2} + 318095011855133683199396442384a - 450194372673979423010557364432 )x^{33} + (611265508378319814573204098970a^{2} + 74072859539227339004553672688a + 576061393470120548479630555310 )x^{32} + (-183179341798835751618668990352a^{2} - 573434898865059084493559708064a + 28196578468594043632427172992 )x^{31} + (624796183629746091985563227592a^{2} + 238707006148487420567524887656a + 508049748782630981029918073344 )x^{30} + (473279857952528269110878169768a^{2} + 129630479127640979503805862000a - 270641854123378998964905093888 )x^{29} + (97154335349951334436955387704a^{2} + 514161421111151625999576262900a - 416130102293247088692794046756 )x^{28} + (-542768957458072170714689213088a^{2} - 261444179403381338973078279744a - 591315469954550156779395889984 )x^{27} + (171311017520119119619000157064a^{2} + 422396673920339742543496438016a - 437190463050281132896528561128 )x^{26} + (155909291197587782707162419264a^{2} + 434466719052496993206275029648a - 163176240078109217707221030976 )x^{25} + (277405604158651880750843614420a^{2} + 615243503079228129370604340544a + 485615140198857624898036581936 )x^{24} + (279667315953969881706572390528a^{2} - 449190446605154713738992117920a - 609435200169079066527190520272 )x^{23} + (291264537550204768605516292136a^{2} + 4758923766305003421832964160a + 192521976271890328319466822560 )x^{22} + (-233616285558765036601189476304a^{2} - 65495001477545210979945768400a - 416099328949350278720005113248 )x^{21} + (269465239950084721304378385648a^{2} + 578091499797653096168103840480a - 514778252572154803171932636600 )x^{20} + (252493094956988275613378168000a^{2} - 314704281015824711259699426656a - 311493725005497615547433333984 )x^{19} + (396657372456296575572777262840a^{2} - 401063374538765488018338363576a - 154646607187076069567992206224 )x^{18} + (-22248676596258057165562043600a^{2} + 466150535884909517949776393072a + 118352583037744793468507220496 )x^{17} + (66307508687287115429884714052a^{2} - 310065288602131174149433720508a + 495338751511765311621090835624 )x^{16} + (-472034286799901976461150231456a^{2} + 4128303510747328106904656384a + 605085400520105866127675417408 )x^{15} + (549455925955540398053236943104a^{2} + 190213155435832211982400808936a + 134022140851127851286375884816 )x^{14} + (-121264204370233561864007901456a^{2} - 547698535173620861167023976464a - 36191117906448495723729148416 )x^{13} + (488023083273948202661500905144a^{2} - 893955935183901328213422528a - 471089798046713716073206439536 )x^{12} + (-93854605093256538946878302176a^{2} + 410498836704499283415897199072a + 313214240393786878334824175168 )x^{11} + (-447427112275196511920364621640a^{2} + 46889318442808157208128924952a + 115287908759263533124305648632 )x^{10} + (-369139426835882082624688874304a^{2} - 266263571757960748630507244896a - 345099207977887297315939465952 )x^{9} + (-489037848782851630830844371900a^{2} - 186648797964022808404701851664a - 431377193771090189970225845164 )x^{8} + (421519145613487517528141793664a^{2} + 595833106003997378867120385856a + 453611930863998015179926996832 )x^{7} + (-625388836490752205481206635904a^{2} - 192365637432240150968867236768a + 50661559343932788932456762816 )x^{6} + (-421910874277272725021987803200a^{2} + 338017753158853099776750255520a + 161862140597112854947743296544 )x^{5} + (212989606848149186106862940112a^{2} - 444030640910796919386930416888a - 464449250271495882985410811416 )x^{4} + (589497827046972650211214066560a^{2} + 95906382681628546547566493504a - 49141967269792439831918634048 )x^{3} + (160418125689465005912093289504a^{2} + 243593362897343152833550294544a + 537672867832394182064175421472 )x^{2} + (469336841752858771201982420256a^{2} - 395523430324429159804292901888a - 166571483423335321024717583040 )x + 167783574339673573262475050792a^{2} + 409915337332614778834669368096a + 256235381139668337780056934124 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary