← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.384634_589494_860364.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((130693493677504073382662922712a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217523)\mu_3 + (130693493677504073382662922711a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217522))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + (3a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + 3\mu_3b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-555290103998639839919923350096a^{2} - 291645856937791697715344247328a + 252835315953676450102527599472 )x^{47} + (171673409372093343389897703508a^{2} - 245466193971441515539032371456a - 305139879335741379097212808912 )x^{46} + (203623690427516569301426544520a^{2} + 150276780969187787099451494856a + 98419210807183690730699933120 )x^{45} + (-264523703179171110586170952320a^{2} - 308103304045770352468676362760a + 365066775578288135825644620508 )x^{44} + (120542219547026976125581294976a^{2} + 547606357990490928327371371088a - 84289521562608393960530963408 )x^{43} + (-497532503786956483633143997540a^{2} + 565827082035056089338061803740a + 500336932279177207786652316140 )x^{42} + (592310665965401312197619708728a^{2} - 591100518932666109553840351968a + 253082908163129302477706142752 )x^{41} + (353984650592836429892584728212a^{2} + 37064811521898843595121032308a - 330911238712800949107930875128 )x^{40} + (-43887761182456605018770763632a^{2} + 8449840656440904284472552112a + 297918747974210020364910502800 )x^{39} + (459448071527530206905724825304a^{2} - 529959143675900824459645570536a + 550185687021639253238414516512 )x^{38} + (617492070524983764485622795672a^{2} + 599885645661326598076472870808a - 378541347852403364963049368472 )x^{37} + (-627360359874509333910052744856a^{2} + 141507354968396484338452473044a - 144660767225450034268482563284 )x^{36} + (-96674742735766803793170343984a^{2} + 275633330617232665991373543072a + 181866150846915687877760845728 )x^{35} + (-292272085070866862297290775804a^{2} + 195725229960867867850701273068a - 212945379959144023905967602116 )x^{34} + (461774431983652449610214384144a^{2} - 101152612824717048191120630704a + 76353224271761517491176597648 )x^{33} + (-397697941487499509466525494990a^{2} - 142558837601565554595041286344a - 375421035265597779725517509142 )x^{32} + (291917522210549527439962067632a^{2} + 125357086984936882782894652896a + 411962157173236643079532292352 )x^{31} + (-125250999052638227155121743416a^{2} + 387107672454086458985119203992a + 81945677920429142802256071360 )x^{30} + (631961901512355895889699488680a^{2} - 211892458840136294931660462640a - 487950705096223734578242477600 )x^{29} + (86992224958236673043875608704a^{2} - 114204981027172861777947475348a + 439186633088927937984706151452 )x^{28} + (203258760645044586166918623072a^{2} - 229529530229334537152484936320a + 146523565370352113444586541632 )x^{27} + (-603170700931171052452840111328a^{2} + 515916896547240531587414183720a + 109939482623525974823650215664 )x^{26} + (-290102891104471284381103626944a^{2} + 54911323544784186027989706496a - 500957137702634534977914378816 )x^{25} + (470579123192015793245536286580a^{2} + 143361547226827522142980773912a + 49523635749750853980771573136 )x^{24} + (-13757073625483071396004131648a^{2} - 532270344130695660873044620000a + 599393663896620604028564848944 )x^{23} + (435649016869215544767398179528a^{2} - 154584000291980223653091577136a + 381335932210022198633629041584 )x^{22} + (285680356850823768599434021936a^{2} - 199515282141033947450951873616a - 103754110326333923705744608096 )x^{21} + (41735941053704887916650784560a^{2} + 446737896256751982809908946000a - 317070464255991802335653535944 )x^{20} + (561234181196015409717856898688a^{2} + 499077210476173770526638974528a + 393434125376220475256749664960 )x^{19} + (464853926682635645925172858872a^{2} + 343403823228673606727433517304a - 121462740662680866007961137232 )x^{18} + (631722342598583488827894295920a^{2} + 626994329865269197894396274928a + 313814358919503294863511848432 )x^{17} + (132003261984051588722366401604a^{2} + 146251251770591763439152471412a + 100861352725526311504781053912 )x^{16} + (-127230701464344988882295441120a^{2} - 212331786152502210979235032192a + 174013811779066031269223381760 )x^{15} + (266392036871365010268556972768a^{2} - 562556637934444967373765688632a + 574818039557870217165588526288 )x^{14} + (148658627233500976310109014352a^{2} + 163653118375686332491725415536a + 293005897045280167264790564384 )x^{13} + (-448833368535769190023861002136a^{2} - 531100981311357494818387392784a + 116830402744807888456430510640 )x^{12} + (-255208261611962898864800825760a^{2} - 577657592461906068951649835936a + 331991305769910383657593512448 )x^{11} + (-1685202681840885286494783736a^{2} + 102113959267489524835466955960a + 546619100231101495630053098632 )x^{10} + (251664346671013667879502707072a^{2} + 15230189833094791021367848992a + 505790184185397694441748815584 )x^{9} + (-399643367311556197340433705404a^{2} - 441429017469331523726077392480a - 112696094053732427013553268316 )x^{8} + (-217704945100721393509797489408a^{2} - 521836476854939400480084404992a + 389421108633702644935475650592 )x^{7} + (120447315946360396009132836608a^{2} + 142609304632767521723339487104a + 170529354275933722122898128160 )x^{6} + (446427489657851932482483467712a^{2} + 57619169091437890831491864512a + 135964552651145042948447011008 )x^{5} + (238840462889028119317319130864a^{2} - 201658339414304244323233994392a + 63890216208587616047198971720 )x^{4} + (179016675293818673864165036928a^{2} + 267724326353603105195668932032a - 208202107371454181052962232256 )x^{3} + (514082758895641263550910953504a^{2} + 261340002190546824104424300112a + 494894755259899289296588077088 )x^{2} + (-369546608672420622266686270656a^{2} - 261156374497521742466212350272a - 98485026206347286619631399040 )x + 235477478765240339324667312792a^{2} - 88264926415239076330585765296a - 352114237880724981464398086436 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary