← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.384634_589494_860364.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((130693493677504073382662922712a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217523)\mu_3 + (130693493677504073382662922711a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217522))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + (3a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + 3\mu_3b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-555290103998639839919923350096a^{2} - 291645856937791697715344247328a + 252835315953676450102527599472 )x^{47} + (77646840788148123654724568932a^{2} - 291711531679484298873061313960a - 320731577072917360259336103384 )x^{46} + (-49361050810855564692826224024a^{2} + 610150902395770201657287673848a + 94088765763959080683650879616 )x^{45} + (314180560524349354973419146368a^{2} + 57152909544487811301055918312a + 241023491606014525780040665164 )x^{44} + (96755924093273043159453509280a^{2} + 523919071045256038326264688a + 132227778227483524326497733232 )x^{43} + (-578436071820885256267023716916a^{2} + 372947483610687790576053443620a + 287095267602444813370577197964 )x^{42} + (-24048733463791207595866248232a^{2} + 627519567222216871041606830008a + 397068661011822697951751179888 )x^{41} + (555238737694273333116014164064a^{2} - 72108056467507293660644989280a - 550998426034045612807384190128 )x^{40} + (303829153419453945351873106320a^{2} - 458853881032533334900635980304a + 562144123265822521556811448720 )x^{39} + (-330453892724984568066046253920a^{2} + 584744983486767277899766408024a + 306463908496239607139507161816 )x^{38} + (-73445164396637356308393569912a^{2} - 631884089723382148914074581512a - 197096628548136604937356428328 )x^{37} + (85233936564127983109911179216a^{2} + 551810572811627640640202924580a + 467099594679730937175649142588 )x^{36} + (530086060343533651729784424688a^{2} + 158245678486603354142184510960a - 200921179578321232134858268576 )x^{35} + (-406342303167646360041422460700a^{2} - 81804875100528916703297404612a + 432425584049972835357450673204 )x^{34} + (376104712208035201368711777008a^{2} + 97150515304561974984432435856a + 267086340148906861716816763952 )x^{33} + (149186996323128483470393554862a^{2} - 374722000323512938586021627252a + 140555340946170296929465787554 )x^{32} + (-576019753660339688508336765776a^{2} - 590251324382604852388046323552a - 587933227024174162473329795264 )x^{31} + (-373115895581806234026612554744a^{2} - 112946174573167317822572333144a - 358580806390751019066101848352 )x^{30} + (-555173697284478903602622359192a^{2} + 251891708845853810913663987888a - 432344672512938811098136962208 )x^{29} + (-96941986281707485588385615608a^{2} - 229592288657714659707081574908a + 546012289535855445297957908372 )x^{28} + (-53290878275577837166943571424a^{2} + 62479745554695724990896371168a + 578399758444761527936370032672 )x^{27} + (321042982756480451572954873760a^{2} - 283086697180654161564642254552a - 494492255625255688750178958408 )x^{26} + (521422870814542224414503365600a^{2} + 495037954763042977220825802992a - 299671254325382056965169597200 )x^{25} + (453218259033853657568240511276a^{2} + 203591436016408752988908556504a - 356151973708590721769766200176 )x^{24} + (-575217476687746632106036061376a^{2} - 157251373337295355642713509664a - 390437914420602665675674837776 )x^{23} + (100240160066906948202684412408a^{2} - 446476184695857965643774023312a + 22613116983934621867167871088 )x^{22} + (-599495175351140248809435306352a^{2} + 30945129475328322995775817584a + 35107129288359043237991951424 )x^{21} + (139356029006481888716725664000a^{2} + 252757431142935321807808229456a + 450749614760315127998387374656 )x^{20} + (-570219970736735246605309679520a^{2} - 448193903807297113452595214080a - 203722397503094382648603748224 )x^{19} + (197134728285969827696708515512a^{2} + 104293579250489668894238065608a + 469637110616901290811786985456 )x^{18} + (630888951138211102397793447184a^{2} + 398574418885417575424034725840a - 360636133727682658174246823920 )x^{17} + (-478114813235423788915062471524a^{2} + 492877479843560992012747242156a + 80816338256280691249501353336 )x^{16} + (-249287815276797198568823622560a^{2} - 416030546913119765862400373760a - 341360632471533510464792214592 )x^{15} + (103724560265319037003743082560a^{2} + 39230590359659180474171741480a + 415525671864703240500151394416 )x^{14} + (374169675168012772386164013040a^{2} + 309510330263510004843670513936a - 66282993011830031566120404352 )x^{13} + (-359268778469237951810110510232a^{2} + 18839373712840881634480725792a - 77368694478901768650282191824 )x^{12} + (579653526065339117700790908768a^{2} + 401646630488124844432056998240a - 550136965038398109133046138048 )x^{11} + (-201257861536320354721240992440a^{2} + 28408390239899065608150055208a + 294004577712706341567257265992 )x^{10} + (-48197259862300644539118725120a^{2} + 542562208383033032966002462688a - 628848453469399214702527589088 )x^{9} + (-249642388101079659786428098156a^{2} + 134809442164773365102520391360a + 584879920601376818798382996148 )x^{8} + (93287792644520129720211629056a^{2} - 42976532081328032263787513600a - 8296115565494329849999427104 )x^{7} + (325663944811024907431935346016a^{2} - 514545797342148209704204327104a - 281328007943699415799902223072 )x^{6} + (147998397223897756592897486016a^{2} - 336001343472112294675680534208a - 212278623880728005703907535712 )x^{5} + (-434342077345662353666984933056a^{2} - 33722449501272908502367730040a + 615456015908820476012300899960 )x^{4} + (-396368249419092039431654720a^{2} - 460291557922230574661717800640a - 481683508138017329228792192896 )x^{3} + (469283747575367502713550180416a^{2} + 281614454387136129498508018160a - 384739558987889032251379769440 )x^{2} + (94899368223213111329786312352a^{2} + 435825305797472516448237623264a - 557362067315514933849132483200 )x - 9780039386715701825727721144a^{2} - 613646766255128262921524845808a + 327044915881756681836651354012 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary