← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.384634_589494_860364.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((130693493677504073382662922712a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217523)\mu_3 + (130693493677504073382662922711a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217522))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + (3a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + 3\mu_3b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-555290103998639839919923350096a^{2} - 291645856937791697715344247328a + 252835315953676450102527599472 )x^{47} + (126187645310694707439608256940a^{2} + 349084690772285311286695421800a + 236737044593588003688112613152 )x^{46} + (405595582040068895338107467704a^{2} - 293048426449717638660684959832a - 154482029083597513463754100000 )x^{45} + (-567752201951955665642331172152a^{2} - 58683024786889570019582969592a - 75655459001616351684299370276 )x^{44} + (-133752499432521374970536739920a^{2} - 521009349539967121868907371104a + 579295764134538658037509775680 )x^{43} + (-332917299176354051053243808836a^{2} + 489078859230113313065717434612a - 252842767375564141489476724956 )x^{42} + (-371704990911368965423220367928a^{2} - 68280340113376305343905652744a + 270779845168111894073588353240 )x^{41} + (-228227173082675465432358326420a^{2} + 474809313274266418955147685960a - 298698310716718504959166488352 )x^{40} + (-81272237863350348110514754192a^{2} + 485480111272500080430068212240a - 277521664278430498207769861424 )x^{39} + (-216187634170955672226128583240a^{2} - 249568425477033158027226637792a + 159663095348481371596972328888 )x^{38} + (15993633375620932875863670056a^{2} + 504259872033111055522651023512a + 543917962756800536943564340920 )x^{37} + (57855190188956620213638559664a^{2} - 553322770745225256796342571916a - 84202682655187347976773532228 )x^{36} + (-80339804558969794141572005152a^{2} - 617631811864698409533405547216a + 175805609815377365243071585808 )x^{35} + (-307672577279135279187132797884a^{2} + 249576961504158603086487547172a - 553871548241257123083426076468 )x^{34} + (-373848071701238904460984844432a^{2} + 524354423632313061735351976240a - 490658969699451503877298112144 )x^{33} + (-398745815529563760458400820022a^{2} + 29863472614272325036854999916a - 519812287384737835259478592430 )x^{32} + (-441838999908966490594284173904a^{2} + 168613568934414997640981450208a + 207895337651900629019290989824 )x^{31} + (151553914921249327572998522456a^{2} + 490376170934222613922653216968a + 21790939099242591784581204416 )x^{30} + (-264298534907541620227480027800a^{2} - 104409782458574231763470178896a + 451982315083649676563302687680 )x^{29} + (-422443679203580010975404712888a^{2} + 506294854978800570974472417212a + 332668108119300289895144558788 )x^{28} + (-486005603850630637179706518368a^{2} + 323081430331912112663762820096a + 516541354209623934015919668768 )x^{27} + (-355838841325799590564525433080a^{2} + 217477313727240271538165686168a - 445639201320371559755199333808 )x^{26} + (-542136414069097875161416668816a^{2} - 397163445466707360105822702128a - 314322314262384671700990135600 )x^{25} + (-232749486378287022166316704436a^{2} + 51801190779704779994975332840a - 279029935222383719414279822184 )x^{24} + (-250622557695268443516904412800a^{2} + 594646680812740262746962790752a - 245128971017257475650396049488 )x^{23} + (203233917592671038650826677784a^{2} - 272931935033572593600662267952a + 237902433533580054978105325120 )x^{22} + (-20326557793187690955131182352a^{2} + 44476453656782310621882256a + 373530419066326333704555019040 )x^{21} + (390589284190401957156692895320a^{2} + 418871790235364053310889660152a + 152264743333125484646445207256 )x^{20} + (-333219248674812727344184563328a^{2} + 75370671936366983920078869888a + 375185708130382866338446770752 )x^{19} + (64639192563935619184540587176a^{2} + 511590724645769459482837614072a - 508440148918346955029897787936 )x^{18} + (-182372079885233909891187066096a^{2} - 94290402821053135172812982672a + 240414701443557314864875266064 )x^{17} + (576485843629068001563401888260a^{2} + 341427285232096417893672600316a - 215671374724151100944917079240 )x^{16} + (95070591388014497792066199520a^{2} - 379481138449879950521756196288a + 257161422038314590595732443904 )x^{15} + (81166624365580229026608629760a^{2} - 575810489858499226569814141048a + 256059095766383382106424468432 )x^{14} + (2288168318275894079792917872a^{2} + 176856646521666078313330770704a + 610221819660624389656240313152 )x^{13} + (-496596866332633861797914026296a^{2} - 415525436002124797545340709440a + 596360938081997273012424077632 )x^{12} + (588276234579358718551711908704a^{2} - 459170490618516005532830116576a + 82623178976096147919320131712 )x^{11} + (135080462096876169697844120200a^{2} - 77679521655487495378014283544a + 191937475450529815877176037720 )x^{10} + (-308290470285498311279359311360a^{2} + 540125147348345941686831642784a - 20200896089541762590101046112 )x^{9} + (178828158398268443099496548612a^{2} + 500332760701794724027208028656a + 268398340145443643406684357348 )x^{8} + (-541012043501107302082405925824a^{2} - 370911018047427032022583833536a + 361451139879041186878158694432 )x^{7} + (195003430666775650811871489184a^{2} + 411325348902765246648909490880a - 452783982772672739406252959104 )x^{6} + (-158891286034740995519056540896a^{2} - 550433861591771135645734008928a + 155631868563751582901659546432 )x^{5} + (-137344630912671975918653134480a^{2} + 371933175783242137698546827896a + 165391180375158880509966931752 )x^{4} + (-489524224143790196512286918400a^{2} + 16970305091774872484552249472a + 436501102021891212163105945856 )x^{3} + (-500579970736600572058522728416a^{2} + 29983767141312006025460390224a + 367025413671837969488173459136 )x^{2} + (-403443985547840030202258091104a^{2} + 358491095281402506295669757632a + 437666623223609955338749118624 )x + 418126303195226660015611542584a^{2} - 370158459555105929954311353920a - 479157235153142184028727095140 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary