← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.384634_589494_860364.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((130693493677504073382662922712a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217523)\mu_3 + (130693493677504073382662922711a^{2} + 110199771149451241188677115117a + 33795487226230872259608217522))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + a)b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3))c + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + (3a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + (2\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + 3\mu_3b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-555290103998639839919923350096a^{2} - 291645856937791697715344247328a + 252835315953676450102527599472 )x^{47} + (-344479797420307746740030300196a^{2} - 396608832583277002205116164304a - 160534239164831928586498090696 )x^{46} + (-414679962480562112539705273096a^{2} + 114901528053345968883167428568a + 414958650267140144308136167552 )x^{45} + (546641374672047619350544841880a^{2} - 117153583313626835005800752792a - 95682866177049931872243131508 )x^{44} + (-283851867086949431816986215856a^{2} - 561800107642985837128522500928a - 445559888141729218050301112672 )x^{43} + (218082024690787825863803089452a^{2} + 187886846129547041729687787068a - 63175868294383089630739738412 )x^{42} + (-375661646953670354859910434312a^{2} - 227939760365863985243274951856a + 565475725042021677196831521608 )x^{41} + (-269843336606929411213065419824a^{2} - 60460342721321915452311867004a + 45838976971961841759143241608 )x^{40} + (-133582105159080294339917667472a^{2} - 358394033537347106505072435440a - 508379851223223384659367761776 )x^{39} + (188237883666483188782310361600a^{2} + 276095722213281917122891705968a - 80845269276833322097892745680 )x^{38} + (313235702615646615708798571000a^{2} + 575775781709956295381569185240a + 632434664713232370991533024968 )x^{37} + (325195640594627015405496238376a^{2} + 438429943261834092113562176500a + 160917407747342212716692478396 )x^{36} + (299133558385016785162443592704a^{2} - 441874435981036817117131495520a - 73104615272540779936294865712 )x^{35} + (-248943639529318995737282116348a^{2} - 252789498596067286831184422636a - 166640169427417970592444444220 )x^{34} + (5171543213181183675519876144a^{2} + 618465202424845550684887267280a + 506380927762705480570385807152 )x^{33} + (549037222089206075517480950654a^{2} - 400810395581843445608578414560a - 335800137681213270840695948230 )x^{32} + (-9878299419256052902143682512a^{2} + 435155115675417500303782159328a + 633138370838872316386416705088 )x^{31} + (-52503266023040668769889614312a^{2} + 33112315242061362731886458648a + 77526185370946763612492158336 )x^{30} + (-20123164902674227773715634072a^{2} + 453751710461216140631936038736a - 622235178632989093000490095168 )x^{29} + (230389985238224020851516750224a^{2} - 562159431924872276872579939068a - 265041994722181956897393000468 )x^{28} + (426243887286671968258732288864a^{2} - 615412034363716709208473018272a - 412700648944095606084482768384 )x^{27} + (-462297440332253795723317308344a^{2} - 438149440335103721184313362456a - 79318470954840485084288895464 )x^{26} + (-99729574907815523124564987280a^{2} - 15738213763244912751509023296a + 132258467255473104649692368032 )x^{25} + (398196019605892269141500280964a^{2} + 201232627960074968066918280280a - 216291460498683792163415412728 )x^{24} + (-583264830152355781213212707840a^{2} - 441418307455208846789653747680a - 623630315468870945263496312208 )x^{23} + (338012252999031431180692746440a^{2} - 37486941548703697110244478768a + 566240585633566339852447520960 )x^{22} + (-57505317003809116519292873840a^{2} + 526379388762151041906529759120a + 58095656798946039068853398720 )x^{21} + (19916634129134630274619849032a^{2} - 553815325557073202875122681128a - 200423063012136677713033652688 )x^{20} + (448556746764174779271170230688a^{2} + 233323941989035518500270226240a + 144027868159037459544860709440 )x^{19} + (390772221150739830057546388680a^{2} + 160170327577702006682647093128a + 354745710575621729435346095168 )x^{18} + (-445540827455131977465624609552a^{2} - 302558853428124952626320444464a + 530317918877679897562921254416 )x^{17} + (-178464624714334756572291304180a^{2} + 219499279398709558999673529268a - 609542845877140292294465544712 )x^{16} + (42235161428498003801989778336a^{2} + 561807134327954768272829892032a + 359254550445752171675528928320 )x^{15} + (100457964427859746962836520160a^{2} + 428131241704607523677451851880a - 41850095570123980567115840720 )x^{14} + (453567131616474426083733667920a^{2} + 401404858372461367021870813680a + 448336808916938576848580613216 )x^{13} + (5510372672703756143509432104a^{2} + 128929170823350802831900018992a + 351963734038384475070059468480 )x^{12} + (603537395822484283990656945376a^{2} + 220372534304976700514477709472a - 213908599525764301192706539968 )x^{11} + (-584056127393242883132518405656a^{2} + 449378338843233039720444489656a + 73082259076723977357487968024 )x^{10} + (-135967810353141195399776549696a^{2} + 415145710337088971314432165728a - 382758127167540193867633947744 )x^{9} + (156979613714561789691700716052a^{2} - 617947891663690224907239443792a + 611679165889775717072185577332 )x^{8} + (-447022498363759334504119175360a^{2} + 409516139568813700283613646272a - 213475963273544581234479723552 )x^{7} + (-218278174249859809728982897088a^{2} - 559260564395755489384574543936a - 603565677759149170266336419712 )x^{6} + (-209261519709878395478080316064a^{2} - 111468322884169192751963462368a + 412992256687777106660542971296 )x^{5} + (423339693622794766329432476352a^{2} + 625664561746152996697947143960a - 310607583265985089610000082696 )x^{4} + (-399925351258342729742657939008a^{2} + 267103829535119067246674456960a + 251022018463174805713817412160 )x^{3} + (217283336691970273716946647008a^{2} - 611246657174722330443208776400a - 47860261051879886789372459168 )x^{2} + (453113688019807061939309062528a^{2} - 421038286687668745240180283808a - 176999880187981511927074010528 )x + 472218432600056506213166669224a^{2} - 370171056334778262575363967840a - 561509779836348805382445246628 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary