← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.376442_655564_1031862.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((254446616123249432385585404376a^{2} - 111357726680130018576394059449a + 250208904444279700549912272859)\mu_3 + (116812751213986644623182040617a^{2} + 80510533305500940029532138437a - 234793952904247916427351709536))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 3))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4a\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + 4a^{2})c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + (2\mu_3 - 2a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (162908541959539202525099251008a^{2} + 478105947350068547006930714928a + 325921875075176892222315864560 )x^{47} + (-443168081594106724097438689900a^{2} - 394746418578660955880511123976a - 188193030558153238018489611984 )x^{46} + (-87493506165907925126195637312a^{2} + 227699210971960033690720540584a + 479645304459613472803154468200 )x^{45} + (-123618391912039750712218358536a^{2} - 589740832890110510024890595976a + 486140281788514631204174232540 )x^{44} + (-78497003635518236079828237632a^{2} - 378223468100033416959392815248a - 606890699389590134072397254496 )x^{43} + (299382186581293284081303537244a^{2} - 349827637679267862857142497636a - 39036823892451375900225137996 )x^{42} + (-270669729400085274416834839400a^{2} + 415202825580990191790160724568a - 286103666238355442333233290128 )x^{41} + (341133105008206764291851641428a^{2} + 369494153427966413306928111596a - 125463769039059917845679642664 )x^{40} + (261600887160359501501530148256a^{2} + 179033994030128380511408433424a - 473667362490287991365164761072 )x^{39} + (-416899336424910397501826526168a^{2} + 600672245133351366973012276696a + 384440880348673520261939742520 )x^{38} + (-177826284119743125958842167248a^{2} - 77999977523851198327721677584a + 182607247422865277405742913280 )x^{37} + (-75489442900175506718733993400a^{2} - 446376339589597537595015513764a - 593259180540960854521570788444 )x^{36} + (512808683752440632600543231856a^{2} + 619530616941656750496059849264a + 386270722651406111319779661888 )x^{35} + (572836302789602389510601168028a^{2} + 373560318631285941398297520172a - 184655634202842503414433604732 )x^{34} + (324736544325530844982914418448a^{2} + 378596717068978725724183695552a + 271063995207624752135754210144 )x^{33} + (233793928252300264667673492910a^{2} + 319281874257056088722503116800a - 443173818099730715452822421126 )x^{32} + (-176065481830222720346885030752a^{2} + 4565872473222389069985282704a + 214839842489443701112126463216 )x^{31} + (-134124520135267431709502648080a^{2} - 426810459412819634928332661080a + 17620715147573238184850257784 )x^{30} + (-157758303512286784210003609272a^{2} + 327894597905594935169618801280a + 542642249337020358565506301696 )x^{29} + (-230582187926606374787051424416a^{2} - 129436223998410162696661577164a - 6083001011211615495673774932 )x^{28} + (-268940695236346193360033569984a^{2} - 421463491394297408315207630240a - 80457762844757045811129469632 )x^{27} + (621659467581812769395569465808a^{2} + 91786590803892983275951320488a - 171247860027872335777056663280 )x^{26} + (153018324147887025624874753120a^{2} + 545102966296038819948900956384a - 490068239829063857233497858448 )x^{25} + (206565008873762981527645055108a^{2} + 273953193275681132531821929704a - 290973849216052534700925786280 )x^{24} + (169009235975796934749042527552a^{2} + 75231538573943936313725542400a + 128177454310175495895964281200 )x^{23} + (161096214633652505478837536376a^{2} - 523260381747717602645542072864a + 309589095070999848820088285552 )x^{22} + (122236094149624459869596840320a^{2} - 170003340997644832934285433456a - 600284310434556502061840295392 )x^{21} + (258579645386420795684466328368a^{2} - 194369653376559761025799952832a - 212699903245458755578496013912 )x^{20} + (149235688787169515358444470976a^{2} + 209423207393554558489942129856a - 52148593853155359914230414400 )x^{19} + (626705640698932155105747528360a^{2} - 527575532936930083070910585672a + 20277685479144415536134619504 )x^{18} + (-523578805385657796606281753488a^{2} - 541549545730548563483600741472a + 548289712678947119227669075312 )x^{17} + (-325333108889516503798696377196a^{2} - 197121845257254402561289412924a - 252351107632550931598767403048 )x^{16} + (32070466773074915225852844928a^{2} - 553417416953458573803628192128a - 135499995428270160297343125984 )x^{15} + (30593833157961545711163683600a^{2} + 559481331981485843774506776104a + 67526437330343305622832937808 )x^{14} + (99450350144129452619273676064a^{2} - 555304943563276226560065647104a - 522355585706855622207865542192 )x^{13} + (-53524813753157150895836516424a^{2} + 16787477629210823633406228128a + 71105941790575900599013230336 )x^{12} + (53183981014535018097842595872a^{2} - 91399379391356552111490753600a + 109032736807427520544770824448 )x^{11} + (409886614198558984230786779128a^{2} + 105552384709338523360030153768a - 586788298398524988236109934568 )x^{10} + (-604946859528967187378805984992a^{2} + 3120330623221908228536480352a - 253051886207612483921599130368 )x^{9} + (557352502292339012347045000612a^{2} - 454814069768830507580986293216a + 457387312632879905937701024276 )x^{8} + (411893605166544895032460482656a^{2} - 180353384544914925965903064160a + 434701718526035226469357230336 )x^{7} + (-73685313632068178859399128720a^{2} + 406816780118695115246163589472a + 133331919635520897155080256624 )x^{6} + (168904754180413030235222816a^{2} + 186277699151196732293493595296a + 529984986581622024276593963904 )x^{5} + (-554824174783014490465844325248a^{2} - 382492778675084352431500082024a - 395586387169844684573465870248 )x^{4} + (105018254764370653985862792064a^{2} - 338826664601244361935760843392a - 340812863800333989568437404096 )x^{3} + (164208331534187307522394403200a^{2} - 394948152914403891848490155792a - 428753579283975556442026250240 )x^{2} + (252594411986699198575436373376a^{2} - 590708564984554238562681435008a - 511593332119973012665989834144 )x + 578329027509519108634602490328a^{2} + 235601464523304002531156401808a - 198689655387094245025747680260 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary