← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.376442_655564_1031862.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((254446616123249432385585404376a^{2} - 111357726680130018576394059449a + 250208904444279700549912272859)\mu_3 + (116812751213986644623182040617a^{2} + 80510533305500940029532138437a - 234793952904247916427351709536))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 3))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4a\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + 4a^{2})c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + (2\mu_3 - 2a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (162908541959539202525099251008a^{2} + 478105947350068547006930714928a + 325921875075176892222315864560 )x^{47} + (593331955308241044157470883452a^{2} + 225115276363648083615477481424a + 110219571763345321049134171248 )x^{46} + (247321798990344660828718180992a^{2} - 50199899008512467619307554088a - 146698344759806580284854690920 )x^{45} + (54355139294731028672825527432a^{2} + 49965333312034022072364374536a - 489286756123794167751834011292 )x^{44} + (468017632707769767150584719568a^{2} + 318941471527840066849503553536a - 489538095561340400062904260704 )x^{43} + (404826782234360169442668562668a^{2} - 175206069573998703324233026572a - 157230898230696029266270576860 )x^{42} + (79578285085588644426907139128a^{2} - 246097204370306339970464548336a + 385347886374952360808598985304 )x^{41} + (113138832696302360120985815540a^{2} - 158694098403790968095103780800a - 85627566925967597390234392864 )x^{40} + (566788242274146735581575494880a^{2} + 168634983965988913407793610512a - 81364223494190638634524501264 )x^{39} + (579772412568592253594533890856a^{2} - 569482021127639404170699253088a - 116892360427165854671158311488 )x^{38} + (295567039736351583459144078096a^{2} + 160342259761989340984215856400a - 93296962360108620671418048304 )x^{37} + (-313533867971365815350935371264a^{2} - 504263187595651003858502432588a - 554351568236090220744971143092 )x^{36} + (-524796354171342427978852619680a^{2} + 268622475602767106151958087456a - 204622316737198772941390770256 )x^{35} + (-417794845529852680372287037060a^{2} - 108321788616908991504548602908a - 109489111332804593774732681820 )x^{34} + (-422689013002004605808874903360a^{2} + 428992078176031577226956093472a + 127644984604144786984976518784 )x^{33} + (-546011562595639696135498091098a^{2} - 101607021467425169988791043708a - 225041805365440223163869626062 )x^{32} + (-319786725263326454267275502432a^{2} - 349547999543034992395649766512a + 326065382467286131994529997168 )x^{31} + (-47125622990769538264521027744a^{2} + 195299055964996320353976803848a - 452390912367314408952590062024 )x^{30} + (-541606711687977624204707804280a^{2} - 95038497215772633469037791168a - 54746093790492763841732812224 )x^{29} + (-539389040868156564751991885192a^{2} - 459779535316384966074665066300a - 332475970607050426944396384012 )x^{28} + (-421912127939215202527146297824a^{2} - 456162959368361545225926825952a - 212496623617257501045538363808 )x^{27} + (-326418049761320857049302273416a^{2} - 557969960199596112984744842552a - 581542404260586458336425652192 )x^{26} + (422727082293048343702644579904a^{2} - 386593093134378543752705416272a + 527899876651237163305969552720 )x^{25} + (461728949011952154716020492764a^{2} - 96685095096546314398059626104a - 605746648840058667520673918128 )x^{24} + (-32179535355803001941157215360a^{2} + 172699246548979163411068447232a - 446921132165820901028365658000 )x^{23} + (-214604537971398526408827268728a^{2} - 474491382346019006601418899552a + 619940954471940255370449504384 )x^{22} + (-345846626228155989731790202784a^{2} - 27717141374119145219403121840a - 504782353426861625243585506240 )x^{21} + (186019882787518431643171237752a^{2} + 385853236289583125848341936504a + 351634969074242571177186089272 )x^{20} + (-505482625134831622845985212352a^{2} - 217550743603832064285169834752a + 325983578603146891850842826016 )x^{19} + (318650944027899449084444378616a^{2} + 226683713670074861785976607096a + 61548013889386001605485922000 )x^{18} + (57675762581437211024256108336a^{2} + 174251853920269210458995745664a + 487847223807803370532958656720 )x^{17} + (-232299507350253126479810166124a^{2} - 271498820210699538343291605444a - 390895416062916204033036817128 )x^{16} + (418673451799151429939008644992a^{2} - 17999559343470312527910885696a - 211357748471587669328310702560 )x^{15} + (-38963423210358829223531301904a^{2} + 279974254024508963920650675752a - 111849437222993567950400989424 )x^{14} + (-42646837721582519719589275936a^{2} - 404039368892833051089578706976a - 606231900911077154771332236784 )x^{13} + (171719292181666446874534643960a^{2} - 326579979104973678570015969728a + 565559911580256557643617960512 )x^{12} + (454227442143091261589235397152a^{2} - 279351274579790628402463275712a - 564960456327490875559817445632 )x^{11} + (-197430702116708340916919460360a^{2} + 586690057104168853560421518264a - 54465340819936559317446791672 )x^{10} + (-461336837279039882466976375680a^{2} + 307533836686373339358466568704a - 98578573207800040552134043008 )x^{9} + (-370794248057304931290193307036a^{2} - 352167170800449266571762789456a - 66350820150476317485221556780 )x^{8} + (-156890397765072624064477183712a^{2} + 564242773083314588681355307488a + 569419238194162683425064398912 )x^{7} + (311906285259278448641222529936a^{2} - 625372068714748725132744100960a + 183227233429083604610719518608 )x^{6} + (428841814990311549132082850240a^{2} - 115823276377379514336420132416a + 77808431942318194516418692864 )x^{5} + (381957247990782399834475212480a^{2} + 364501422641186533567795544008a - 626299724120636728890390354568 )x^{4} + (132544067255900811022898973952a^{2} + 203605312804996427800255697728a + 257452279041474054441740777472 )x^{3} + (384072364496438342517280820992a^{2} - 102110583916763914442301293680a + 362653072774705878215319405472 )x^{2} + (272391765116208229530715110272a^{2} + 75141524183163650361044835072a - 358107204614951883680487634016 )x + 351789987314307840578840551352a^{2} + 171090172327176909416745469376a - 626934221537833024589715835012 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary