← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.376442_655564_1031862.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((254446616123249432385585404376a^{2} - 111357726680130018576394059449a + 250208904444279700549912272859)\mu_3 + (116812751213986644623182040617a^{2} + 80510533305500940029532138437a - 234793952904247916427351709536))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 3))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4a\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + 4a^{2})c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + (2\mu_3 - 2a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (162908541959539202525099251008a^{2} + 478105947350068547006930714928a + 325921875075176892222315864560 )x^{47} + (-475622156358582798388781509900a^{2} - 364293770629987452561719773808a - 112974485704255782392971179272 )x^{46} + (-486846401665090013089528104400a^{2} + 344892671646620551463319145384a + 540930902351477169124716388392 )x^{45} + (-201599180377304681167672461984a^{2} - 565708762055861408895112923936a - 615151417944887704818387927916 )x^{44} + (556894917570472129388013794800a^{2} - 421157480922681206822626117232a + 529603552737108736251094005408 )x^{43} + (162219609909183325965731065028a^{2} + 71078030763216470108791059228a - 108953508649300365365205093940 )x^{42} + (-305435858885504546821142475032a^{2} - 299737009115058833379503829648a + 209591990096415966752782652624 )x^{41} + (84047781834140949535626365904a^{2} - 170730443892761086023052345472a - 419845943542376737632667486264 )x^{40} + (-190872622316154387271122130848a^{2} - 443945462176580956350170577808a + 384901673600414636283211035088 )x^{39} + (-515927605818697633266409893744a^{2} - 73822441152589867113605952584a + 225558862404175944146392225280 )x^{38} + (60180094406805229695205919024a^{2} - 6133245004112567384603024912a + 568328835529417342882630267888 )x^{37} + (391821216348754237142569681144a^{2} + 575578345473884189846963592060a - 251160082266088884014825110940 )x^{36} + (341640467453683045303363783632a^{2} - 346516372493357529066451947232a - 473912804843582821209052920000 )x^{35} + (-240036085557227316076773134164a^{2} + 337158322359718377170523857052a + 323780849017727767637878415164 )x^{34} + (262627902384563629499271249008a^{2} - 28589461752563114229419003424a + 98416138212245574274381062064 )x^{33} + (269048924201794597762974117578a^{2} - 413594281961177693749461435772a + 167617233603389069685866994114 )x^{32} + (-161062023592555377385824170464a^{2} + 434630170262638033096767156880a - 414924609978691078571010709776 )x^{31} + (319984999566574529213996390096a^{2} - 142219292509827633012514726568a - 556221078419687812300551657304 )x^{30} + (257341149610768665587360133704a^{2} + 88247763721426204539988738848a - 192358463906536332363596326112 )x^{29} + (-475002598394078040250589187048a^{2} - 42574870525243524665059372788a - 105546328117942718115219327660 )x^{28} + (37761884445777977739938917824a^{2} + 475888213368786593806832752320a - 604882470661576439626614174944 )x^{27} + (603394877976757505448588328624a^{2} + 406053009472810958923181584952a - 42043186770707985816532048872 )x^{26} + (-72257175168265672032486724432a^{2} - 546629891771317349378271825280a - 98973693059647849868772832352 )x^{25} + (-127472334932382425721456292404a^{2} + 217783482989032746645333605224a - 184286509244650662808329707608 )x^{24} + (4658708024076750981441372160a^{2} - 99856258409111825332089778432a + 89825639086761228717849037680 )x^{23} + (-564211327160471871544615815608a^{2} - 77240172918322446733235307168a + 429507832565360373073858551952 )x^{22} + (625003173002468734033757208864a^{2} + 264636957127934728123335695760a + 469293220803637639533482834400 )x^{21} + (68876241843198756827710388896a^{2} + 115203014130676944455836485328a - 469933547394655478381218591408 )x^{20} + (221077025710158501108008608128a^{2} + 317542190594710824260757478336a + 211168403118347680519687591296 )x^{19} + (-513980588866099355241185618632a^{2} + 465837194337198786715316799096a - 183180088699050710507758130912 )x^{18} + (-517671626614864554055699929904a^{2} - 176878373437655591228706809664a + 589993376927540952663230030608 )x^{17} + (255789368675006385885942591820a^{2} - 346128279873001216465598934260a - 627658744405809864361115342472 )x^{16} + (-333056974333027827726233163328a^{2} + 8980538191899655575675997504a + 75283191922838738706334691488 )x^{15} + (-41561123419048998162178332336a^{2} + 551596091112873562914994136232a + 445049540975094779520970252336 )x^{14} + (-258451516595440104614227439392a^{2} + 571278977550751172678291236672a - 46584898682011178388690500720 )x^{13} + (228111517135492250819408466568a^{2} - 426150857414632095305615636528a - 552086514330226846241270778528 )x^{12} + (-101737621458782167080378888160a^{2} + 245849224868103893045529548352a + 262025561221844312539926129728 )x^{11} + (494002047424850507115816497816a^{2} - 379129035251119418228398213160a - 170380210390923237616634616136 )x^{10} + (191330909970437914630788475520a^{2} - 594793991443646691141849284320a - 202731265936857045289687377536 )x^{9} + (474552615051800374814615926708a^{2} + 12652596319206327886465223328a - 385860581596700005733797933596 )x^{8} + (246173058374561545870667064032a^{2} + 602188193725346723641938096608a - 561206186684995908786633221120 )x^{7} + (445379888299312968394967642800a^{2} - 287743148227151795696999554048a - 14834475034988867020959964080 )x^{6} + (-405021740095318746868197387680a^{2} + 559289818299280418220355062560a + 400694664549750791358884905952 )x^{5} + (-504459849974954440053324455312a^{2} - 511992258236334402126453723688a + 614743301269514369741889404328 )x^{4} + (547305358998626727539742944128a^{2} - 308880529082373073227036523200a + 163328568415270859665222017920 )x^{3} + (-173925497918900096416083318336a^{2} - 120149007426175604815616202672a - 261103549770781474363605729184 )x^{2} + (322361744387461601113461003456a^{2} - 281052399715401944787167246080a + 612017085314948286256214451872 )x + 58831038265421216307524573384a^{2} + 58369168450380159522825896336a - 483159543476100139858465933028 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary