← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.376442_655564_1031862.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((254446616123249432385585404376a^{2} - 111357726680130018576394059449a + 250208904444279700549912272859)\mu_3 + (116812751213986644623182040617a^{2} + 80510533305500940029532138437a - 234793952904247916427351709536))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 3))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4a\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + 4a^{2})c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + (2\mu_3 - 2a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (162908541959539202525099251008a^{2} + 478105947350068547006930714928a + 325921875075176892222315864560 )x^{47} + (67082736151092912564738572476a^{2} - 468995919777088081180354958824a - 405995198476696287063903382472 )x^{46} + (-273295500109009687067814302672a^{2} - 589412620489465223645763258920a + 23629606112183447496241461368 )x^{45} + (271689567246516693406335775136a^{2} + 74761499174379291903599985008a + 417654585009672136307345883660 )x^{44} + (-49879466964873328515659416640a^{2} + 125625076192302631066527519936a - 273469679409463968687255125568 )x^{43} + (185207204717678997457764207556a^{2} + 524635641928817860845784284932a - 78370810235029802799337745716 )x^{42} + (380853668747476866057704157528a^{2} + 166952679712199607188164545448a + 281524581885852563718269750168 )x^{41} + (332161377512077119867060330008a^{2} - 162420079638812312193749970172a + 385601988735818462724184221056 )x^{40} + (131975974356315315402022683808a^{2} - 620329916224953854749356041104a + 518362636190602297718038962800 )x^{39} + (487824235038490910881607013200a^{2} - 336149740959284637174292123376a - 391725784931854235232013248600 )x^{38} + (-286739563395403867464749873168a^{2} + 271921519470734776628968842640a + 305372731363105860412944049856 )x^{37} + (373308219604326072466898748208a^{2} - 126510621795066466199882017500a - 100441536223103678153490114708 )x^{36} + (242163980802073389527128817152a^{2} - 528427688473451835486084761936a + 172727850379385966055581922736 )x^{35} + (86326377561383696855664082444a^{2} - 153611504398023728451326820748a + 424774834349719865769347840060 )x^{34} + (-399700836105654038475326294240a^{2} - 160800041370916672192949759744a + 252054740334942591530937273616 )x^{33} + (453126477441870724948953943562a^{2} + 59808326499940726532638655640a + 409153606935699805818802001290 )x^{32} + (-521002138675478958275930299616a^{2} + 13926189028934636357286090704a - 184361588365029442377133995280 )x^{31} + (-276901094376273665426153982240a^{2} + 245827274209602045505768996120a + 440577514879033030464828539112 )x^{30} + (592875452298667670537463913800a^{2} + 464299976025541617975830789600a + 60885607283869522475007108896 )x^{29} + (12639555322511216236822807856a^{2} - 522331250759199310425174573780a + 194122147095249840623405173228 )x^{28} + (-225941141941461897762406249440a^{2} - 208545102199181983662070162624a - 544941227126863792368919448448 )x^{27} + (297756178372116634140145959768a^{2} + 54587595130292381400886149096a - 522198571869687919519226775288 )x^{26} + (255403555055441069842609172880a^{2} - 267780554911563759308222786096a + 113276169816658156847239635904 )x^{25} + (-100211603935175397730218059500a^{2} + 572467051514997938939415493800a - 576018671658305100146192958176 )x^{24} + (561397931213642553832218270912a^{2} - 444344427798362694577841976576a - 387164757263875096654484005648 )x^{23} + (332308646562231300194899183768a^{2} - 328067733065489290293007552384a - 121891090935210717573380658528 )x^{22} + (-300817369608464007027167069056a^{2} + 105945671584755241242414311760a - 196849185654678728128393959872 )x^{21} + (160691506035663209828976056712a^{2} + 302529551044594028447996309000a - 426056397797255922423238377616 )x^{20} + (-485044031127579842487273715520a^{2} - 242365409771778371516843666496a + 399039879417067235973695443168 )x^{19} + (-193307566719600980734131664792a^{2} - 168644977757268623849354619592a - 389332052077399365282689418336 )x^{18} + (-19341541747386359802279329520a^{2} + 142727281368715304895656197472a + 212212206337574247496711342736 )x^{17} + (618807723680443432145828857244a^{2} + 512309109980187131093828338372a - 131279082506567873884632715112 )x^{16} + (470312304284961220810640218304a^{2} - 125854171274957594352663699584a + 416416543701664422667313755936 )x^{15} + (-623148347527013118483639937104a^{2} - 373733456021703772415388741336a - 253637673094116276377180927504 )x^{14} + (584262172718662832954858063200a^{2} - 355712635510373355460232158944a + 482934261944730861423329274960 )x^{13} + (-146646088550156501915143564632a^{2} - 82834796811266386051411600400a - 127393717917609534762095143232 )x^{12} + (-119744783237939983937146255840a^{2} - 485136603709205484908182217792a + 49540325014665328251968540352 )x^{11} + (55425672513547878960862131384a^{2} - 250803970191519111144958814968a - 565617914671602283103572075800 )x^{10} + (534416209840840228419290061280a^{2} - 143836363479048593997188169088a + 343807721306498291424103012736 )x^{9} + (355331323495868913922656174228a^{2} + 449541679675934539394886090256a + 507956866275074339794976917988 )x^{8} + (401442010697954177042817143456a^{2} - 7148680707584028341899554144a - 204554614388030113295273042496 )x^{7} + (-487003577167824925159323592816a^{2} - 323196892842564969919265644864a - 234041694957109895832875446096 )x^{6} + (-64864354003834457772966416320a^{2} + 152730245734632897538447313216a + 590714120049749320437125860320 )x^{5} + (265627823662176195761544185968a^{2} + 245434258821114749846807133320a + 604840540521575422606762439848 )x^{4} + (262058235686502335463691601280a^{2} - 53914166610640691949033970560a - 99854393665317911710357666880 )x^{3} + (-622318432318133003387522061920a^{2} - 58487711558096700784814889872a - 575806573924968895767107939168 )x^{2} + (-97733419763922305982279303296a^{2} + 349012477351519931597668364992a - 31779835552335720571787228256 )x - 633145455952673552781053059768a^{2} - 290046016932417858821568037312a - 555860163517822432535733137924 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary