← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.376442_655564_1031862.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((254446616123249432385585404376a^{2} - 111357726680130018576394059449a + 250208904444279700549912272859)\mu_3 + (116812751213986644623182040617a^{2} + 80510533305500940029532138437a - 234793952904247916427351709536))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 3))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4a\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + 4a^{2})c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + (2\mu_3 - 2a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-524588764556289776852029429880a^{2} - 554546576427645976632270401776a - 98880170537173764746008686456 )x^{47} + (-207437145329262192413418041044a^{2} - 230905434521111258052287335436a + 218063161449770651332629335392 )x^{46} + (383334784869844176191652186528a^{2} + 254196513514125341510258359848a - 402621271876843058216968495928 )x^{45} + (-79973601113001073624293828304a^{2} - 574960011430014084683119615236a - 400131303030990642553959499440 )x^{44} + (-118150375700362419121828562696a^{2} + 546692037603793205233252672480a - 145744229542418652899015555336 )x^{43} + (102206815284062829182494486404a^{2} + 93038583010051631081001725812a - 190326556581343821437388586464 )x^{42} + (579231156754244225999393898728a^{2} - 435684898251703988042450345688a + 574907802460206032779938181488 )x^{41} + (296266830330999894268440749548a^{2} + 525227092180365636527334694504a - 564330090990366407574589885376 )x^{40} + (-32112485125715985857699516592a^{2} + 618396726077224458506683036832a - 177257682369273189742438650672 )x^{39} + (-139780216420801698596661749028a^{2} - 49856548053116172722775956180a - 243648898913761678958706842908 )x^{38} + (351400960230331402516850268312a^{2} - 368132094913690046822457572048a - 348688195633990932269902545656 )x^{37} + (345234855319584960951564961436a^{2} - 557681987287712994328168902708a + 210599328218667046959028249552 )x^{36} + (-131294428412095775027811867232a^{2} + 549083903309684952121975297312a + 520901812630506795967958869232 )x^{35} + (518702982207215838382721106444a^{2} - 260100741399040729611723674508a - 115033232938550311208958809500 )x^{34} + (-491226382794351180428051782368a^{2} - 375986283348824033731772689704a - 210467455779280781389631094040 )x^{33} + (567604889390663643509545130066a^{2} + 127302087562134351575313225794a + 391517892913427891751709871868 )x^{32} + (-408228542952340347797158602080a^{2} + 627177320787464499537914509248a + 120689405431653806576155768800 )x^{31} + (629428313245328176235639327672a^{2} + 257708768839188621716524255832a + 597098373296894475278510004368 )x^{30} + (60452159972989738192059663800a^{2} + 105026984177492072379697383768a - 140967569473369934726834760400 )x^{29} + (541293484939087175781318155972a^{2} - 101777231205477646096385382716a + 49274048240095463355483158368 )x^{28} + (-419219369013289486822583062912a^{2} + 424806538870615221876191631584a + 221610723426370992720614826816 )x^{27} + (167521389526220121302365092192a^{2} - 375873879903656112183178118040a + 12339729173011345212649802376 )x^{26} + (337546736217279191931676279368a^{2} + 44893438270375568504377718824a + 218686700398986965175538493280 )x^{25} + (-252968865497768512864950454112a^{2} + 282594428347364917655105644832a + 129560953238264377271006044208 )x^{24} + (-291156547545862912128706424352a^{2} + 110790792891929289877857226240a - 297191083357490389957674158208 )x^{23} + (-413070162170840685483654251424a^{2} + 609955838660189524781750608760a - 495182780552049368745759486240 )x^{22} + (615670226759141708756506358592a^{2} - 475409051038737606529358164768a + 424862241967843563757714039120 )x^{21} + (-111817270175624384568457027336a^{2} + 212097018884567358919190597904a + 96848487839549619277888501568 )x^{20} + (-92020978411906793264331868608a^{2} + 190869672321796528876688839568a - 130818607193853784071060400560 )x^{19} + (-470097678486282229447859218296a^{2} + 261711406968993600396909878400a + 573231794658118018483147460008 )x^{18} + (-595156129213943024359284707280a^{2} - 453197012409674885555984015776a + 314877434742480317874753733312 )x^{17} + (-348524581647274388632307567896a^{2} + 345624199507624741533169938792a - 116109471953577298071159990948 )x^{16} + (526514414624206622664828464544a^{2} + 379437411096892637864923229920a - 110372602269003334204114517280 )x^{15} + (158171640950448309341478946016a^{2} + 3260448612748438434709196688a - 135852356206823551370475637440 )x^{14} + (-466165619242386381266036623104a^{2} + 417010130117721964257065853776a + 3294177715733913027970944272 )x^{13} + (285404422832276485275825320184a^{2} + 366765421376318549943758954896a + 573640079164851800910680461280 )x^{12} + (494615335046587634892586956288a^{2} - 133413480613830930980586632608a + 274187244675783259930625857824 )x^{11} + (510707754584013405143619816584a^{2} - 118269478207058500325395514400a - 538277732184569140728595075440 )x^{10} + (531071510431264079157556988848a^{2} - 363431364201874969296852111472a + 132529286551013831248446311696 )x^{9} + (-458847310999640474711067674312a^{2} + 155062334575007739850971231548a - 482755065138363181768185682016 )x^{8} + (240476981329810890133639189952a^{2} + 109251253977117635874030976064a + 327098107993884311328854730368 )x^{7} + (232530281312500412077786383040a^{2} - 559021706762899943950694986160a - 632962187570436059261538658544 )x^{6} + (501332939756790542337988973504a^{2} - 227236077139106130955072442560a - 246148902508687310259196014304 )x^{5} + (606091288841628299676489983616a^{2} - 403523584896837257260248915736a - 611145462163377950551075380992 )x^{4} + (621695482085463045751237626624a^{2} + 415342944361656334375432517280a - 52713739958445565904897540576 )x^{3} + (-488946730796482767880145915696a^{2} + 571237908118377608560012545536a - 524537552283932479725924051600 )x^{2} + (-537598006456842675055455131296a^{2} + 148370257541971846877825662096a + 110326693938384048340030749024 )x + 390850595414559420295701958960a^{2} - 623767448901953216085804440996a + 431031351214914809117964237752 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary