← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.376442_655564_1031862.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((254446616123249432385585404376a^{2} - 111357726680130018576394059449a + 250208904444279700549912272859)\mu_3 + (116812751213986644623182040617a^{2} + 80510533305500940029532138437a - 234793952904247916427351709536))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 3))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4a\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + 4a^{2})c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + (2\mu_3 - 2a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-524588764556289776852029429880a^{2} - 554546576427645976632270401776a - 98880170537173764746008686456 )x^{47} + (415984305822361925108182104884a^{2} + 581347511139619930894238291332a - 530713789798368355058108667264 )x^{46} + (-555146504710885001787372827680a^{2} - 374948952019610786863049935704a + 200218770360937528467191330648 )x^{45} + (522517829662304530977304185808a^{2} - 522339665323508841763478182692a + 103374336223232886313156766136 )x^{44} + (-605582828721099219855984415512a^{2} - 335452503072726674381660189120a + 299936777148495628972385837784 )x^{43} + (-418673621454546773359854061684a^{2} - 476188992571641170101095850940a + 518760253769229284231024943712 )x^{42} + (327928949601626682919880453880a^{2} - 623999605445841019119418222752a + 429729547906914243888974988008 )x^{41} + (243172455887860947352515015388a^{2} - 516612629188988596123450798528a + 630677926461796369406294709596 )x^{40} + (193459925438419950800694849200a^{2} - 112069656280748609439134546976a + 522813789608897468553685053104 )x^{39} + (-249884523662327277654872921956a^{2} + 621874609380714101524583034220a - 73785290973815868548585676252 )x^{38} + (523934043134570305770000835880a^{2} - 287031534011574098573412861984a - 629159846134682074244134276760 )x^{37} + (306848573622008498447274265044a^{2} - 205970127480148899856980579300a + 499235468185142343169914788816 )x^{36} + (605592919914487133656261824640a^{2} - 246394499327341452780320313056a - 243337189080240049064058510544 )x^{35} + (-222364266686275018430211980052a^{2} + 70672944840506725441944910004a + 257796823605407705925444976388 )x^{34} + (-480462211685368613418100299408a^{2} - 243634035859939883462198428776a - 364839603668412488018450131480 )x^{33} + (593415666093175316908123887846a^{2} + 192436450094959379691734051370a + 361441192129281611780861941104 )x^{32} + (-22861410069803328148495937088a^{2} - 489092045453969455145791176960a - 129558034775084300885291524416 )x^{31} + (284154703564066515738819458376a^{2} - 75427302739860594104818266168a + 590293054203372867469746744496 )x^{30} + (-48348111058233374800374780296a^{2} - 195920884368308927251838097800a - 176395514729494691142835744848 )x^{29} + (-24744245021453687133150815380a^{2} + 228308742204478902982985641324a - 71392443289360056748878563336 )x^{28} + (-187324820419540022167576511776a^{2} - 394695158665962339364671606752a - 519962869146238396735314862048 )x^{27} + (207884484812822991500397359392a^{2} + 383945196495319152967853862632a - 426525248662861630230186408440 )x^{26} + (-108048188594576782378451012328a^{2} + 479158924074600052992515216584a - 218218376446444499280368825200 )x^{25} + (-381822501742581053371029218808a^{2} - 316285292311080771972969783128a + 514539152538846587577488641184 )x^{24} + (-406543559304271609568075052864a^{2} + 349521961110122986786986691296a + 595122614725022766081520482912 )x^{23} + (-88255008709862473335034213360a^{2} - 84056151265314175104991534728a + 169508701492911948503732066656 )x^{22} + (-179969831400396585799781267456a^{2} - 486959998865315981498146748384a + 203193631817802115335499949584 )x^{21} + (603233791416706247611018938368a^{2} - 572013079157007065316352978344a + 354759789290049163752790921872 )x^{20} + (-444477160784330787034142178816a^{2} + 162024295430582067832603212144a - 239667630684318314578976120688 )x^{19} + (527177873825998157052071174248a^{2} + 629113606404446256852162387984a - 384106281588423361816944171688 )x^{18} + (619683754386771240436430784848a^{2} - 20967617578523825472871903008a + 427340778351677475437691176352 )x^{17} + (569220623385655817514543471216a^{2} - 15858670611783808997624966096a - 219525379664402399148947023764 )x^{16} + (-68254312689113307997256454368a^{2} + 513940850065106662022131848992a + 555145758448652934275601196320 )x^{15} + (576767666103641618918391084800a^{2} + 20453431776598984715462173520a - 66489374915225686744394309088 )x^{14} + (-300536348870632444646628649440a^{2} - 428395197116877258258723112176a - 213319427365295839642277572528 )x^{13} + (270982075376527250901636351640a^{2} - 492324991616314006502236645216a - 350729025005787849566308101888 )x^{12} + (501600935427606503179183233472a^{2} + 94605165146555964164956275968a + 427437379656990051870783117248 )x^{11} + (529706358752993511693403002424a^{2} + 313285217766725644996032754096a + 174981116136590010214908705840 )x^{10} + (18471999508027703817236326992a^{2} - 23975833186529960644550527888a - 452584143476081606996211505808 )x^{9} + (160844305270243307032411628984a^{2} - 185946838731897551859881759444a + 174188064198857974577852815984 )x^{8} + (623227481170040829391220547584a^{2} + 388184866031509156837950024320a - 72718214981060419696428681152 )x^{7} + (302468595263093977739928399520a^{2} + 256972917911417450758105970608a - 435519706886243456402925807056 )x^{6} + (-477155314760964100510514760000a^{2} - 408941665113576132147613025888a - 439648852461976073330581096640 )x^{5} + (-478605353632417607810465738800a^{2} + 212662614492204972010444731032a + 14796236413099695249843361360 )x^{4} + (-531187399366075985255144502336a^{2} + 419366199125867488853026462880a + 78082491105657214738323341472 )x^{3} + (173957273426291119551417560768a^{2} - 221488066861519702876853440112a + 557273269177305204978567234592 )x^{2} + (-598536658127148412859905054368a^{2} + 209049259388050899779182331280a + 512881654667786637581801014048 )x + 515130942505924460596026009840a^{2} + 200902223025243940645607199452a - 375913946761426822254011029448 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary