← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.376442_655564_1031862.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((254446616123249432385585404376a^{2} - 111357726680130018576394059449a + 250208904444279700549912272859)\mu_3 + (116812751213986644623182040617a^{2} + 80510533305500940029532138437a - 234793952904247916427351709536))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 3))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4a\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + 4a^{2})c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + (2\mu_3 - 2a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-524588764556289776852029429880a^{2} - 554546576427645976632270401776a - 98880170537173764746008686456 )x^{47} + (-114652764451296761713461640580a^{2} + 374946020458097297805419770908a + 477432839189759068694628936352 )x^{46} + (369173953849514424945929974384a^{2} + 410807046175140890108644627208a + 5205879721852174564137339192 )x^{45} + (298877793890807020761997859784a^{2} - 589554239162282079801752591484a - 232979864176808963556060357224 )x^{44} + (-602844170092685382730138234120a^{2} - 550014392023965170260271855248a - 65493365397657325979845783016 )x^{43} + (479452444414140771856503998188a^{2} - 4775247373354731594832044292a + 217310021456521459075450300480 )x^{42} + (488388369863900496269232119016a^{2} - 588236572743640617442940121296a - 247807540622123238591083285936 )x^{41} + (351125428724502506609708528436a^{2} + 4632157136162968866112909412a + 197559578462415558810721295884 )x^{40} + (519912557612459654581246518160a^{2} + 601956604275789599893265043392a + 356176136130554471372578902416 )x^{39} + (133577625968122772517190472860a^{2} - 26519214836428519102782416612a - 48958517427310055840865544988 )x^{38} + (294826680563029498645392091384a^{2} + 89851080228949093676701482288a + 87230519441783777834244729688 )x^{37} + (-587926800947753934562620399036a^{2} - 481496078509970007918922748164a - 439768311318130132889367888560 )x^{36} + (202112964395273870105932810912a^{2} + 327800822057726750747558611232a + 18425548009426700606303785648 )x^{35} + (-537094409168802932812157800428a^{2} - 44555991723719116553909085836a + 198918086688302196034469589844 )x^{34} + (187546618312759682735595196352a^{2} - 427533896102148940688860111960a - 258526322922757756740654343640 )x^{33} + (374678107534484924966219359638a^{2} + 345535603045171084064277348978a + 534692981212715912220123854900 )x^{32} + (535322169880354164286248299968a^{2} + 405747350511577476285537427040a - 155041769591084144004304354304 )x^{31} + (-310715971436165196980688618040a^{2} - 611830629632879203926776955160a + 335423277016893303580289715920 )x^{30} + (604990735081610638530068157656a^{2} + 81258542650167736790139146008a + 123445412079428859631837860240 )x^{29} + (-173172014722942417203157472084a^{2} + 67705430182940527330242812612a + 34120200937684135018725642976 )x^{28} + (-562040443848667160639024782976a^{2} - 312564803249571916062332394784a + 390617048782424509922841433408 )x^{27} + (-308371288120054309017707644080a^{2} + 77391900596163365763066307624a + 377790799956891305469168075384 )x^{26} + (380425274184720008436986422328a^{2} - 538869989745485737045615621064a - 368481631321873930884573190048 )x^{25} + (604392768275779050681025664584a^{2} - 21918580270793787657011566560a + 217846530376817458240729810912 )x^{24} + (-448258531588391106741419406048a^{2} + 499943242763953423676077663840a - 372968988156041868805822760000 )x^{23} + (-347047581730838666669568517872a^{2} - 151882766603339682081675463896a - 168160696269549510073321085968 )x^{22} + (168364057589067104732216849888a^{2} + 76464292124431740236047323712a + 563748487122608048492694314096 )x^{21} + (448805718416683339656495157496a^{2} - 18365510618005567833047613168a - 136984294811301346971518907656 )x^{20} + (-348224807153277411036785691616a^{2} - 148395180712061636201366940912a + 347684213389095973306289601904 )x^{19} + (154760883951798743581615427432a^{2} + 332487576505943148786187452608a - 561040866657502784007856744008 )x^{18} + (459810740281132628246691138064a^{2} - 491776217663796388820819359328a - 591232025368446188812507019584 )x^{17} + (98518282553871323879459331624a^{2} - 111157895122075644239793427432a + 101118673262333908632164097108 )x^{16} + (86815714922024944930757549216a^{2} + 136467192934708274545040303456a - 594446058388102641983104542816 )x^{15} + (332026895878494867044448111584a^{2} + 438821697574707961420525906576a - 410654641071494660241228342944 )x^{14} + (-299108846783309682534699735168a^{2} + 491140541591819198924606874864a - 435608315467500300069203258512 )x^{13} + (584687296475690204834457882856a^{2} - 492298838254319336649895623184a + 297212445245929401439355707920 )x^{12} + (589109909355610553530645593376a^{2} + 39883238268534192913522167200a + 625394417569857559982703587584 )x^{11} + (112847632802649067687150754936a^{2} + 457217281694386326231412320992a - 462080104449117775540970636752 )x^{10} + (-463485842402546272758269243440a^{2} + 596294937866897868165270023984a - 538109878940876923216992390768 )x^{9} + (-575324420731739582766104957160a^{2} - 405342230971237244555999005940a - 515480707352049823772027681104 )x^{8} + (356702078923224926288003524544a^{2} + 209098873677642898839840571136a + 175170879302335540240210489472 )x^{7} + (-492682740326986698235570858048a^{2} + 469166259782784675861725867568a + 210472577857394067708308712752 )x^{6} + (219567413029275752894009937440a^{2} + 441868126380379414990740655360a - 339010476283476970342581228928 )x^{5} + (56903550654013946046225937280a^{2} - 559475552291888423857034555192a - 1156990961428899420307162432 )x^{4} + (306308867835098987908226887168a^{2} + 435773535517858069636007039584a - 174713127158431079142828094240 )x^{3} + (380480664568159798506409042032a^{2} + 18032504088713558090501664528a - 241933115737624038408996913536 )x^{2} + (429165213991237432271652277440a^{2} - 160057673043206064630332486544a + 443866814696864154770862292160 )x - 543593937330565557611446310784a^{2} - 196465394259943085838320300276a - 371991203814761875358016293624 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary