← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.376442_655564_1031862.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((254446616123249432385585404376a^{2} - 111357726680130018576394059449a + 250208904444279700549912272859)\mu_3 + (116812751213986644623182040617a^{2} + 80510533305500940029532138437a - 234793952904247916427351709536))b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 3))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + 4a\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((-a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + 4a^{2})c + (2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + (2\mu_3 - 2a^{2}))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + 3\mu_3b + (-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-524588764556289776852029429880a^{2} - 554546576427645976632270401776a - 98880170537173764746008686456 )x^{47} + (-95663759509210012387154774700a^{2} - 166198866940945381046342118612a + 258406587551700783142781848560 )x^{46} + (-185600443063689153326645415536a^{2} - 256163827569198715912912875160a + 345082848835598928307419832840 )x^{45} + (-491057876884009867959710856968a^{2} - 578263135926406741139014878748a + 498529481669083846652165052656 )x^{44} + (-107307353872006043377711031288a^{2} - 178531021208832912941859882032a - 338360144144960906914517749032 )x^{43} + (-171094809294397793287138893436a^{2} - 21683435409388906463289482356a - 93482707519003886434510978944 )x^{42} + (-548686773992693793315919511352a^{2} + 370042554820204581475490551208a + 54145393408518003315285966920 )x^{41} + (-250610294008096910656850019516a^{2} + 96120999740013278501050709236a - 564020141115769384372252132616 )x^{40} + (-487443108600248632616805456a^{2} + 550017433676064897085271140864a + 581122816523427115949497682160 )x^{39} + (596620885261028462389680667292a^{2} + 377981167495604553349371648956a - 499790706542325752570517377340 )x^{38} + (447786706965450427304695388936a^{2} - 468691334830232639904239574624a + 310677199178320183341458531992 )x^{37} + (323558237370965055018334629740a^{2} - 53533275472840366781694059844a + 311860817693533412820882790272 )x^{36} + (-460934256788881193725078807232a^{2} + 108608855087073125912402579872a + 437165471799412537859226792240 )x^{35} + (550733848043915172559072007508a^{2} + 252123029587229673873196661460a - 395440575622208808172652165884 )x^{34} + (-271723885339522801800991585296a^{2} - 109130775915760222578258952056a - 432267918725059572258358385752 )x^{33} + (-583803807586826148847771656726a^{2} - 162519973385706452307250758134a - 31959394115973291848929658560 )x^{32} + (-75417930571676110578466388704a^{2} + 478741379924205056310740814880a + 580566160186574683381124458080 )x^{31} + (345117933997821929440271485272a^{2} + 7253264518182435104906347704a - 187860101217268696163954191664 )x^{30} + (410697175619120350326168128728a^{2} + 320633171803875929458340176248a - 482426949510201378367825008 )x^{29} + (-82281842908779321895663679676a^{2} + 543523449245400163528165997244a - 381919749280586512721099009048 )x^{28} + (528033841576502379364663173792a^{2} - 62142395969457193107052958048a + 482801865514765866665160141280 )x^{27} + (-579778400024829742976888014992a^{2} + 579115543285758750942474297864a + 522352439547115177753568299320 )x^{26} + (496769547714855879962981375720a^{2} + 313322728644068117468212690552a - 110313489311145022292272158384 )x^{25} + (-419380752457452306412769771312a^{2} + 145311554367007598189503597464a - 13001123132887061032669022944 )x^{24} + (-178874978326221165728763059648a^{2} + 80054432193812793210242782400a + 21280017812342687489239142496 )x^{23} + (21957796737802762423032661088a^{2} + 265718056224300290481047360360a - 35090293829551673175026337872 )x^{22} + (-506813829190575062839707076000a^{2} - 108137597623076033629957677504a + 426402047688020424457088699632 )x^{21} + (-406277087887487043768563087648a^{2} + 18821499320006044000733485304a - 287940632207272732178940107784 )x^{20} + (-61378689350678397368300040736a^{2} + 74115892557901903800539542768a + 439363028834189341801677527664 )x^{19} + (-246953993367134456423477596376a^{2} - 372997141973962376585343764144a - 364102940230247852463220261240 )x^{18} + (-231255135931286054317383588912a^{2} + 342694946703818715035078313344a + 220645859811131028619049763872 )x^{17} + (-535205588664679678978550256512a^{2} + 96472452978207879639343680912a - 237386512132853322841647893228 )x^{16} + (252275755909559289175937874720a^{2} - 498743330076467819342477865696a - 52352982705381360820086070432 )x^{15} + (-510202771235543341018487954944a^{2} - 129819895432046611696738294640a + 225942546703997489320632674624 )x^{14} + (-436612834622446086977413651360a^{2} + 460435103594833443428921859312a - 517708699783041235000821893712 )x^{13} + (374169865306901369371450096840a^{2} - 157822498942128797801023413376a + 349957300153360798706003312208 )x^{12} + (-6794692858942203556060153696a^{2} + 243058510182270573436778549696a - 286383031825733763089210689952 )x^{11} + (-458244696365867953195465603288a^{2} + 254521401693858004245283047344a - 548385740461779340124979713328 )x^{10} + (535332540480704019970639570864a^{2} + 323850910049348328575510807632a + 553776212764080504905073170800 )x^{9} + (616359462183156631622808638296a^{2} - 566416982760437166250151736836a + 543602302629616529229318970496 )x^{8} + (487945132666076323699162277376a^{2} - 563922407474074499216473148352a - 217969865298534113499235612224 )x^{7} + (316296888040048996440506491680a^{2} + 350187861829399437749951046800a - 593515300083735884381049148656 )x^{6} + (19952146302270608449267871904a^{2} + 280465575235602886487339862304a - 600885065084603598436806466144 )x^{5} + (152382238966002458822887709520a^{2} + 347199322988831423617559800248a - 468011710862232211655438605520 )x^{4} + (183522234864153500175329641792a^{2} - 155081160474569195493278557600a + 503045324759941137449009470560 )x^{3} + (604697251326885464103452375808a^{2} + 113118908522370865513140305216a + 351590120874577382461689110704 )x^{2} + (-463752366880742642055378995264a^{2} - 429976923542252201356864186640a + 139564192597417946195426421696 )x - 220391130083947412503374919488a^{2} + 557529922796815046978863052300a + 58896196923359669908385138536 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary